La geometria non-euclidea/Nota I/Sul principio della leva

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Sul principio della leva

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Nota I Nota I - Sulla composizione delle forze concorrenti

[p. 173 modifica] SUL PRINCIPIO DELLA LEVA.


§ 1. Per dimostrare il principio della leva ARCHIMEDE [287-212] si giova di certe ipotesi, alcune enunciate, altre sottintese. Fra le ipotesi passate sotto silenzio, oltre quella che con linguaggio moderno si chiama ipotesi del rinforzo dei vincoli1, vi è uno degli stessi casi d'equilibrio della leva, che potrebbe enunciarsi così:

Una leva, sospesa per il suo punto di mezzo, è in equilibrio quando ad un estremo si applichi il peso 2P ed all'altro estremo si appenda, per il punto di mezzo, una nuova leva, portante a ciascun estremo un peso uguale a P2.

Senza qui fare la storia delle critiche mosse ad ARCHIMEDE per l'uso di tale ipotesi, e dei vari tentativi fatti per dimostrarla3, riporteremo in proposito le argomentazioni di Lagrange, [p. 174 modifica]perchè da esse può farsi scaturire in modo semplice e chiaro un importantissimo legame fra l'ipotesi in discorso ed il postulato delle parallele.


§ 2. Sia ABD un triangolo isoscele [AD = BD], i cui vertici A e B sopportino due pesi uguali a P ed il vertice D un peso uguale a 2P. Questo triangolo sarà in equilibrio intorno alla retta MN, che congiunge i punti medi dei lati uguali del triangolo, perchè ciascuno di questi lati può riguardarsi come una leva, i cui estremi sopportino pesi uguali.

Ma l'equilibrio della figura si può ottenere anche appoggiando il triangolo su una retta che passi pel vertice D e pel punto di mezzo [C] del lato AB, per la qual cosa, denotando con E il punto d'incontro dei due assi MN, CD, il nostro triangolo sarà in equilibrio se lo si sospende per il punto E.

«Or, continua Lagrange, comme l'axe [MN] passe par le milieu des deux côté du triangle, il passera aussi nécessairement par le mileu de la droite menée du sommet du triangle au milieu [C] de sa base; donc le levier transversal [CD] aura le point d'appui [E] dans le milieu et devra, par conséquent, être chargé ègalement aux deux bouts [C, D]: donc la charge que supporte le point d'appui du levier, qui fait la base du triangle, et qui est chargé, à ses deux extrémités de poids égaux, sera égale au poids double du sommet [p. 175 modifica]et, par conséquent, égale à la somme des deux poids.»4.


§ 3. Il ragionamento di Lagrange, oltre contenere implicitamente talune ipotesi d'indole statica, relative alle simmetrie, al rinforzo dei vincoli, etc.5, utilizza una proprietà geometrica del triangolo euclideo. Ma se si vuole prescindere da questa, il che, sotto un certo aspetto, appare naturale, le precedenti conclusioni vanno modificate.

Infatti, fermo restando il principio che il triangolo ABD sia in equilibrio intorno al punto [E] in cui s'incontrano i due assi MN, CD, non si può asserire che E sia punto di mezzo di CD, perchè ciò equivarrebbe ad ammettere il postulato d'Euclide.

Conseguentemente non si potrà asserire che i due pesi applicati in A e B possano sostituirsi con l'unico peso 2P, applicato in C, poichè, se tale sostituzione potesse aver luogo, dovrebbe sussistere l'equilibrio d'una leva con pesi uguali agli estremi, intorno ad un punto che può non essere il suo punto di mezzo.

Viceversa, se si concede, con ARCHIMEDE, che a due pesi uguali possa sostituirsi un unico peso applicato al punto medio della leva, si deduce facilmente che E è il punto di mezzo di CD e successivamente che ABD è un triangolo euclideo.

Con ciò resta stabilita l'equivalenza fra il V postulato d'Euclide e la suddetta ipotesi d'Archimede. Una tale equivalenza, beninteso, è relativa al sistema di ipotesi formato dalle ipotesi statiche sopra accennate e dalle ipotesi geometriche ordinarie. [p. 176 modifica]

Adottando il linguaggio moderno potremo parlare di forze, di composizione di forze, di risultante, invece che di pesi, di leve, etc.

Allora l'ipotesi in discorso assume la forma seguente:

Due forze d'uguale intensità, giacenti in uno stesso piano, applicate perpendicolarmente agli estremi di un segmento e dalla stessa banda di esso, si compongono in un unica forza, d'intensità uguale alla somma delle intensità delle forze date ed applicata al punto medio del segmento.

In forza di quanto sopra si disse, l'applicabilità di questa legge di composizione richiede che nello spazio si verifichi l'ordinaria teoria delle parallele.

  1. Questa ipotesi può enunciarsi così: Se dei corpi, soggetti a vincoli, sono in equilibrio sotto l'azione di forze date, saranno pure in equilibrio se ai vincoli già esistenti se ne aggiungono dei nuovi». Cfr., ad es., J. ANDRADE: «Léçons de Mécanique Physique.», p. 59 [Paris, 1898].
  2. Cfr.: «Archimedis opera Omnia.», nell'edizione critica dì J. L. HEIBERG, t. II, p. 142 e successive. [Lipsia, Teubner, 1881]
  3. Cfr., ad es., E. MACH: «La Mécanique, exposé historique et critique de son développement.», trad. par E. BERTRAND; p. 21 e succ. [Paris, Hermann, 1904]. — Intorno alle varie ipotesi su cui può fondarsi la dimostrazione del principio della leva rimandiamo al recente volume di P. DUHEM: «Les origines de la Statique.» [Paris, Hermann, 1905], segnatamente alla nota C [p. 356-58], Sur les divers axiomes d'où se peut déduire la théorie du levier.
  4. «Oeuvres de Lagrange.», t. XI, p. 4-5.
  5. Per l'analisi dei principi fisici su cui si fonda la statica ordinaria si vegga il Cap. V dell'opera in corso di stampa di F. ENRIQUES «Problemi della Scienza.» [Bologna, Zanichelli, 1906].