Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 117

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 18 - Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

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§ 117. — Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti.

$\alpha$) Supposte ora le $p_{i}$ costanti, cerchiamo se una funzione $y=e^{ex}$ (dove $c=$ cost.) può soddisfare alla: {{centrato|$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n}y=0$. (1) Si osservi che dalla $y=ce^{ex}$ si deduce:

$y'=ce^{cx}$; $y''=c^{2}e^{cx}$; .....; $y^{(n)}=c^{n}e^{cx}$.

Sostituendo in (1) si trova che deve essere:

$e^{cx}(c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p_{n-1}c+p_{n})=0$,

e, poichè $e^{cx}$ non può essere zero, dovrò essere nullo l'altro fattore; dunque, affinchè $y=e^{cx}$ rappresenti una soluzione particolare dell'equazione, è necessario e sufficiente che $c$ sia una delle $n$ radici dell'equazione algebrica (detta equazione caratteristica):

$c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p{n-1}c+p_{n}=0$, (2)

la quale si forma dall'equazione differenziale, ponendo in luogo di $y$ e delle sue derivate successive le potenze successive delle incognite $c$. Si noti che al posto di $y'$ è posto $c^{1}=c$, ed al posto di $y$ la $c^{0}=1$.

Se dunque noi risolviamo la (2) e supponiamo che le sue $n$ radici siano tutte reali e disuguali,

$c_{1},c_{2},.....,c_{n}$,

le funzioni:

$e^{c_{1}x},e^{c_{2}x},.....,e^{c_{n}x}$

rappresentano altrettante soluzioni particolari distinte dall'equazione differenziale. E perciò, se dimostriamo che il loro Wronskiano, cioè il determinante formato con queste soluzioni e le loro derivate sino a quelle di ordine $n-1$, è diverso sa zero, potremo affermare, giusta la teoria sviluppata di sopra, che lìintegrale generale della (1) è:

$y=k_{1}e^{c_{1}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}$ ($k_{i}=$ cost.).

Ora il determinante di cui si parla è effettivamente diverso da zero, perchè esso è:

${\begin{vmatrix}c^{c_{1}x}&e^{c_{2}x}&\cdots &e^{c_{n}x}\\c_{1}e^{c_{1}x}&c_{2}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}e^{c_{n}x}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}&c_{2}^{n-1}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}^{n-1}e^{c_{n}x}\end{vmatrix}}$

che (raccogliendo a fattor comune le $e^{c_{1}x},.....,e^{c_{n}x}$ che compaiono nelle singole colonne) si dimostra uguale a:

$e^{c_{1}x}e^{c_{2}x}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot e^{c_{n}x}{\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\\c_{1}^{2}&c_{2}^{3}&\cdots &c_{n}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}&c_{2}^{n-1}&\cdots &c_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

di cui il primo fattore è un esponenziale, e il secondo fattore, che è il così detto determinante di Vandermonde o di Cauchy, è uguale (§ 23, pag. 76) al prodotto delle differenze delle $c$ combinare a due a due fra loro in tutti i modi possibili; quindi esso non può essere zero, a meno che due delle $c$ non siano fra loro uguali, ciò che noi abbiamo escluso supponendo le radici della 82) tutte distinte.

Esercizio.

Sia per esempio l'equazione:

$y''-3y'+2y=0$.

Le radici dell'equazione caratteristica

$c^{2}-3c+2=0$

sono i numeri $1,\,2$. Due integrali particolari sono perciò:

$e^{x},e^{2x}$,

e l'integrale generale dell'equazione è:

$a\,e^{x}+b\,e^{x}$,

dove $a,b$ sono costanti arbitrarie.

$\beta$) Immaginiamo ora che le $n$ radici $c_{1},c_{2},.....,c_{n}$ (che ancora supponiamo reali) non siano tutte distinte. In tal caso, col metodo precedente si ottengono $n$ integrali particolari, che non sono distinti ed hanno quindi un Wronskiano nullo. Non si trova perciò più l'integrale generale per la via precedentemente seguita.

Ora si può mostrare che, se $c_{1}=c_{2}$, allora è vero che si perde un integrale particolare, perchè $e^{c_{2}x}$ diventa uguale a $e^{c_{1}x}$, ma se ne acquista un altro, e cioè: {{centrato|$y=x\,e^{c_{1}x}$. ¹ Infatti dalla precedente uguaglianza si deduce

$y'=e^{c_{1}x}+xc_{1}e^{c_{1}x}$

$y''=2c_{1}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$

$y'''=3c_{1}^{2}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$

$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$y^{(n)}=nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+x{c}_{1}^{n}e^{c_{1}x}$

E, sostituendo nell'equazione differenziale data, si trova:

$(xc_{1}^{n}e^{c_{1}x}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}xe^{c_{1}x}+p_{n-1}c_{1}xe^{c_{1}x}+p_{n}xe^{c_{1}x})+$

$+(nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}e^{c_{1}x}+p_{n-1}e^{c_{1}x})=$

$=xe^{c_{1}x}(c_{1}^{n}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}+p_{n-1}c_{1}+p_{n})+$

$+e^{c_{1}x}(nc_{1}^{n-1}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}+p_{n-1})=0$.

La quale relazione è effettivamente verificata se $c_{1}$ è radice doppia, perchè allora per $c=c_{1}$ si annulla non solo il primo membro dell'equazione caratteristica, ma anche (§ 64) la sua prima derivata rispetto alla $c$, cosicchè ciascuna delle

$c_{1}^{n}+p_{1}c_{1}^{n-1}+.....+p_{n-1}c_{1}+p_{n}$,

$nc_{1}^{n-1}+(n-1)p_{1}c_{1}^{n-2}+.....+p_{n-1}$

è nulla. Così, in generale, si può dimostrare che, se $c_{1}$ è radice multipla d'ordine $k$,

$e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},x^{2}e^{c_{1}x},.....,x^{k-1}e^{c_{1}x}$

sono tutti integrali particolari dell'equazione.

Riassumento: ogni radice d'ordine $k$ dà luogo a $k$ integrali particolari, che, insieme con gli altri integrali derivanti dalle altre radici, sia multiple, sia semplici, costituiscono $n$ integrali particolari dell'equazione.

Di più si potrebbe far vedere che gli integrali così ottenuti hanno il Wronskiano non nullo: con le loro combinazioni lineari si ottengono quindi tutti e soli gli integrali dell'equazione².

$\gamma$) Dobbiamo finalmente considerare il caso che le radici dell'equazione caratteristica non siano tutte reali.

Se ci limitassimo a considerare funzioni reali, la soluzione $y=e^{ex}$, dove $c=a+i\,b$ è una radice complessa dell'equazione caratteristica, non avrebbe per noi alcun significato.

Ma se teniamo conto anche di funzioni complesse, potremo dimostrare che $e^{(a+ib)x}$ è ancora un integrale (complesso) della nostra equazione. Infatti tutti i nostri ragionamenti hanno usato soltanto delle regole del calcolo algebrico, delle regole di derivazione di una somma, di un prodotto, e dell'esponenziale $e^{cx}$ ($c=$ cost.), che continuano a valere (cfr. §§ 55-60 e particolarmente pag. 188) anche nel campo delle funzioni complesse della $x$.

Cosicchè, anche nel caso di radici complesse dell'equazione caratteristica (2) vale il teorema: Se $\mathrm {c_{1},c_{2},.....,c_{n}}$ sono le radici tutte distinte di (2), la più generale funzione (complessa) che soddisfi alla (1) è $\mathrm {k_{1}e^{c_{1}x}+k_{2}e^{c_{2}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}}$ dove le $\mathrm {k}$ sono costanti arbitrarie (complesse). Se invece vi sono radici multiple, e, per es., $\mathrm {c_{1}}$ è radice di ordine $\mathrm {r}$, si devvono assumere a integrali particolari corrispondenti

$\mathrm {e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},.....x^{r-1}e^{c_{1}x}}$.

Per questa via abbiamo trovato tutti gli integrali, anche complessi, di (1). Vogliamo trovare quelli di essi che sono reali, supposto naturalmente che le $p_{i}$ sieno costanti reali- In tal caso, se (2) ha una radice complessa semplice $a+i\,b$, essa ha anche la radice complessa coniugata $a-i\,b$; cosicchè insieme all'integrale $e^{(a+ib)x}$ vi sarà anche l'integrale $e^{(a-ib)x}$. Si debbono ora scegliere le costanti $k_{1}=l_{1}+i\,m_{1},k_{2}=l_{2}+i\,m_{2}$ ($l,m=$ cost. reali) in guisa che $k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}$ sia reale, ossia non muti mutando $i$ in $-i$. Si debbono in altre parole scegliere le costanti $l,m$ in guisa che

$(l_{1}+im_{1})e^{(a+ib)x}+(l_{2}+im_{2})e^{(a-ib)x}=$

$=(l_{1}+im_{1})e^{(a-ib)x}+(l_{2}-im_{2})e^{(a+ib)x}$.

Ciò avviene allora e allora soltanto che $k_{1}$ e $k_{2}$ sono immaginarie coniugate, ossia che $l_{1}=l_{2},m_{1}=-m_{2}$; nel qual caso

$k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}=2e^{ax}(l_{1}\,{\text{cos}}\,bx-m_{1}\,{\text{sen}}\,bx)$.

Posto $2l_{1}=h_{1},-2m_{1}=h_{2}$, questo integrale diventa

$h_{1}e^{ax}{\text{cos}}\,bx+h_{2}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{1},h_{2}$, costanti reali arbitrarie).

In modo analogo si vede che, se $a+ib$ fosse radice doppia di (2) e quindi altrettanto avvenisse di $a-i\,b$, si trovano anche gli integralii

$h_{3}xe^{ax}\,{\text{cos}}\,bx+h_{4}xe^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{3},h_{4}$ costati reali arbitrarie)

e così via. In modo simile si trattano le altre coppie di radici complesse coniugate; e si vede facilmente che così si ottengono tutti gli integrali reali di (1). In conclusione l'integrale reale generale di (1) è una combinazione lineare a coefficienti costanti reali arbitrari di integrali particolari del tipo

$x^{r}e^{cx},x^{r}e^{ax}\,{\text{cos}}\,bx,x^{r}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$.

Esempi.

1°) L'equazione $y''+2y'+3y=0$ ha $-1\pm i{\sqrt {2}}$ per radici dell'equazione caratteristica $c^{2}+2c+3=0$. Il suo integrale reale generale è quindi $e^{-x}$ ($h_{1}{\text{cos}}{\sqrt {2}}x+h_{2}\,{\text{sen}}{\sqrt {2}}x$), dove $h_{1},h_{2}$ sono costanti reali arbitarie.

2°) L'equazione $y''-2y'+y=x$ ha le radici dell'equazione $c^{2}-2c+1=0$ caratteristica della corrispondente equazione omogenea

$y''-2y'+y=0$

uguali entrambe $a+1$, cosicchè $c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$ ($c_{1},c_{2}=$ cost. arbitrarie) è l'integrale generale di tale equazione omogenea, perchè il Wronskiano

${\begin{vmatrix}e^{x}&xe^{x}\\e^{x}&e^{x}+xe^{x}\end{vmatrix}}=e^{2x}$

delle soluzioni $x,xe^{x}$ è differente da zero. Quindi l'integrale generale dell'equazione proposta è

$y=c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$,

dove le $c_{1},c_{2}$ sono funzioni della $x$ determinate dalle:

$c'_{1}e^{x}+c'_{2}xe^{x}=0$

$c'_{1}e^{x}+c'_{2}(e^{x}+xe^{x})=x$

donde si trae:

$c'_{1}=-x^{2}e^{-x},c'_{2}=xe^{-x}$

e quindi:

$c_{1}=-\int x^{2}e^{-x}dx=x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}+k_{1}$;

$c_{2}=-xe^{-x}-e^{-x}+k_{2}$ ($k_{1},k_{2}=$ cost.)

l'integrale più generale dell'equazione proposta. Esso si sarebbe potuto scrivere senz'altro, appena fosse stato noto l'integrale particolare $x+2$, che si sarebbe potuto ottenere più rapidamente coi metodi dati nel seguente esempio 2°.

Altri Esempi.

1° Formare l'equazione lineare omogenea alle derivate ordinarie di $n^{esimo}$ ordine, che ammette gli integrali particolari $y_{1},y_{2},.....,y_{n}$.

Ris.     ${\begin{vmatrix}yy'y''&\cdots &y^{(n)}\\y_{1}y'_{1}y''_{1}&\cdots &y_{1}^{(n)}\\y_{2}y'_{2}y''_{2}&\cdots &y_{2}^{(n)}\\\cdots &\cdots &\cdots \\y_{n}y'_{n}y''_{n}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}=0$;}} la quale non si riduce ad una identità, nè ad una equazione di ordine minore di $n$, se il Wronskiano delle $y_{i}$ è differente da zero. Il primo membro di questa equazione è il Wronskiano delle $y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}$. Dunque:

Se il Wronskiano delle $\mathrm {y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è sempre nullo, ma il Wronskiano delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è differente da zero, la $\mathrm {y}$ è una combinazione lineare $\mathrm {k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+.....+k_{n}y_{n}}$ a coefficienti $\mathrm {k}$ costanti delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$

2° Integrare l'equazione

$y^{(n)}+p_{3}t^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+...+p_{n}y=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m}$

($p_{1}=$ cost; $a_{i}=$ cost.; $n,m$ interi positivi).

Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo:

$y=b_{0}+b_{1}x+.....+b_{m}x^{m}$ ($b_{1}=$ cost.).

Sostituendo nella nostra equazione, e uguagliando nei due membri i coefficienti di $x^{m},x^{m-1}$, ecc., si trova:

$p_{n}b_{m}=a_{0}$; $p_{n}b_{m-1}+mb_{m}p_{n-1}=a_{1}$;

$p_{n}b_{m-2}+(m-1)p_{n-1}b_{m-1}+m(m-1)p_{n-3}b_{m}=a_{2}$;

$.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,$

$p_{n}b_{0}+p_{n-1}b_{1}+2p_{n-2}b_{2}+...+p_{1}\lfloor {\underline {n-1}}b_{n-1}+\lfloor {\underline {n}}b_{n}=a_{m}$,

dove sono supposte nulle le $b_{i}$, il cui indice $i$ supera $m$. Queste equazioni permettono di determinare successivamente le $b_{m},b_{m-1},.....,b_{0}$.

Fa eccezione il solo caso $p_{n}=0$; ma noi possiamo sempre supporre $p_{n}\not =0$, purchè si assuma una conveniente derivata della $y$ come funzione incognita, ecc., ecc.

3° Integrare l'equazione

$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n}y=ke^{hx}$ ($p_{i},h,k=$ cost.9 ($k\not =0$)

dove $h$ non è raice dell'equazione caratteristica {{centrato|$h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}=0$. Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo

$y=l\,e^{hx}$ ($l=$ cost.).

Sostituendo nella nostra equazione si trova

$l\left\{h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}\right\}=k$,

che determina la $l$, se $h$ non è radice dell'equazione caratteristica relativa al primo membro della nostra equazione differenziale. 4° Si discuta l'equazione

$y''+py'+qy=o$ ($p,q=$ cost.).

Ris. L'equazione caratteristica è $c^{2}+pc+q=0$, e ha per radici ${\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$. Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q=0$ queste radici coincidono e l'integrale generale della nostra equazione è

$\lambda e^{-{\frac {p}{2}}x}+\mu xe^{-{\frac {p}{2}}x}$ ($\lambda ,\mu =$ cost.).

Escluso questo caso limite di scarso interesse, trattiamo gli altri.

Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$, l'equazione ha due radici reali che potremo indicare con $\alpha ,\beta$; l'integrale generale è $\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ($\lambda ,\mu =$ cost.) il quale, se $\alpha ,\beta$ sono negativi, tende a zero per $x=+\infty$.

Se invece ${\frac {p^{2}}{4}}-q<0$, si ponga $q-{\frac {p^{2}}{4}}=k^{2}$; le radici dell'equazione caratteristica saranno $-{\frac {p}{2}}\pm ik$; e hli integrali della nostra equazione saranno

$e^{-{\frac {p}{2}}x}|\lambda \,{\text{cos}}\,kx+\mu \,{\text{sen}}\,kx|$ ($\lambda ,\mu =$ cost.).

Essi si ridurranno a sole funzioni trigonometriche se $p=0$, e quindi $q=k?2$ ³.

Questi risultati sono stati trovati per via diretta al § 113.

Questo studio ha numerosissime applicazioni fisiche.

In molti problemi (scarica elettrica di un condensatore, vibrazione di un pendolo, ecc.) si preesnta una quantità $y$ (intensità di corrente, angolo di un pendolo con la posizione di equilibrio) variabile col tempo $x$, che la fisica dimostra soddisfare a un'equazione del tipo precedente, dove le costanti $p,q$ sono positive. Allora, se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$, le $\alpha ,\beta$ sono negative, e quindi $y=\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ci definisce una $y$ che per $x=\infty$ tende a zero. Si tratta in tal caso di un semplice fenomeno smorzato (p. es., un pendolo che torna alla posizione di equilibrio in un mezzo che presenta tale attrito da impedirgli ogni ulteriore oscillazione).

Se $p=0$, allora $q=k^{2}$; abbiamo in questo caso un puro fenomeno vibratorio; quando $kx$ è aumentato di $2\pi$, ossia quando il tempo $x$ è aumentato di ${\frac {2\,\pi }{k}}$ il sistema riprende le condizioni iniziali; cosicchè $\mathrm {\frac {2,\pi }{k}}$ è la derivata di una oscillazione completa.

Se $p>0$, e se $k$ è reale, allora abbiamo ancora un fenomeno vibratorio. Però l'esponenziale $e^{-{\frac {p}{2}}x}$, che tende a zero al crescere di $x$, ci avverte che le vibrazioni vanno diminuendo di ampiezza, o come si suol dire si smorzano. La durata di una oscillazione è sempre $\mathrm {\frac {2\,\pi }{k}}$. Per fissare le idee, il lettore può pensare alla scarica di un condensatore di capacità $C$ in un filo di resistenza $R$ il cui coefficiente di autoinduzione sia $L$. Se $y$ è l'intensità della corrente all'istante $x$, la fisica insegna che $y''+py'+q=0$ dove sia posto:

$p={\frac {R}{L}}$; $q={\frac {1}{LC}}$.

Per $p=0$ si ha $k={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$.

Dunque in tal caso si ha con Thomson che $2\,\pi {\sqrt {LC}}$ è la durata di una vibrazione, e, se $c$ è la velocità di propagazione delle onde elettriche, che $2\,\pi \,c{\sqrt {LC}}$ è la lunghezza d'onda.

Un esempio di equazioni a derivate parziali.

Se abbiamo un equazione alle derivate parziali, cioè se la funzione incognita dipende da più variabili indipendenti, allora, come si può verificare sugli esempi dei §§ 93 e 110, una soluzione di tale equazione non si può più definire, prefissando un numero finito di costanti (le $b_{0},b_{1},...,b_{n-1}$ del teorema di Cauchy a pag. 377), perchè la soluzione più generale di tale equazione dipende da funzioni arbitrarie. il seg. teorema, che si può generalizzare a tutte le equazioni alle derivate parziali del primo ordine. Sia data l'equazione $X{\frac {\partial f}{\partial x}}+Y{\frac {\partial f}{\partial y}}=o$, ove $X,Y$ sono funzioni note di $x,y$, e dove $f$ è la funzione incognita. Sia $X\not =0$. Consideriamo l'equazione ${\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}}$ alle derivate ordinarie; e la $\varphi (x,y)=$ cost. definisca la sua soluzione più generale. Sarà $X{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+Y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$, perchè ${\frac {Y}{X}}={\frac {dy}{dx}}$ deve essere uguale a quel valore di $y'$, che dalla $\varphi =$ cost. si deduce in virtù del teorema delle funzioni implicite. Poniamo $x=x_{1},\varphi (x,y)=y_{1}$ e assumiamo $x_{1}y_{1}$ come nuove variabili indipendenti, come sarà generalmente possibile. Sarà:

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}$; ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$.

La nostra equazione diventa perciò ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=0$. Cioè le funzioni $f$ cercate sono tutte e sole le funzioni della $y_{1}$, cioè della $\varphi$. (Cfr. § 110, pag. 368).

Così p. es. le soluzioni di ${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$ ($X=Y=1$) sono le funzioni di $x-y$, perchè le soluzioni di ${\frac {dy}{dx}}=1$ si pttengono risolvendo la $x-y=$ cost.

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In modo simile (cfr. il § 110, pag. 369) le soluzioni di

$X{\frac {\partial f}{\partial x}}+X_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+X_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+.....+X_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0$,

ove le $X,X_{1},...,X_{n}$ sono funzioni di $x,x_{1},x_{2},.....,x_{n}$, sono tutte e sole le funzioni di $\varphi _{1},\varphi _{2},.....,\varphi _{n}$, se le soluzioni del sistema

${\frac {dx}{X}}={\frac {dx_{1}}{X_{1}}}={\frac {dx_{2}}{X_{2}}}=.....={\frac {dx_{n}}{X_{n}}}$

si ottengono risolvendo le $\varphi _{1}=$ cost., $\varphi _{2}=$ cost., ....., $\varphi _{n}=$ cost. Ma non è nostro scopo approfondire e precisare simili studii.

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Note

1. Si noti che, se $c_{2}\not =c_{1}$, evidentemente alla soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ possiamo sostituire la $e^{c_{1}x}$ e la ${\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. La seconda, pensata come funzione di $c_{2}$, tende precisamente ad $x\,e^{c_{1}x}$ per $c_{2}=c_{1}$.
2. Riferiamoci all'ultima nota a piè di pagina, in cui si sono supposte due sole radici uguali $c_{1}=c_{2}$. Alle soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ si sono (se $c_{1}\not =c_{2}$) sostituite le $e^{c_{1}x},{\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. Il Wronskiano delle nuove soluzioni è uguale al quoziente ottenuto dividendo per $c_{2}-c_{1}$ il Wronskiano delle soluzioni iniziali. Questo valeva il prodotto di $e^{(c_{1}+c_{2}+...+c_{n})x}$ per il prodotto delle differenze a due a due $c_{r}$; esso perciò, divido per $c_{2}-c_{1}$, ha un quoziente, che per $c_{2}-c_{1}$ tende a un limite diverso sa zero. Questo limite è il Wronskiano delle $e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x}$, ecc. c.d.d. Dimostrazione analoga vale nel caso generale.
3. Si può porre $\lambda =a\,{\text{cos}}\,\varphi ,\mu =a\,{\text{sen}}\,\varphi$, e, invece di dire che $\lambda ,\mu$ sono costanti arbitrarie, dire che $a,\varphi$ sono costanti arbitrarie; la soluzione della nostra equazione diventa $a\,e^{-{\frac {p}{2}}x}{\text{cos}}\,(hx+\varphi )$, dove $\varphi$ è la cosidetta fase.