La geometria non-euclidea/Nota II/Le parallele di Clifford

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Le parallele di Clifford

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Nota II Nota II - La quadrica di Clifford

[p. 193 modifica] LE PARALLELE DI CLIFFORD.


§ 1. Le parallele d'Euclide sono rette che posseggono i seguenti requisiti:

a) appartenere ad un piano,

b) non avere punti in comune,

c) essere equidistanti.

Lasciando cadere il requisito c) e seguendo le vedute di Gauss, Lobacefski, Bolyai si ottiene una prima estensione del concetto di parallelismo, ma le parallele che ad essa rispondono hanno pochissime proprietà in comune con le parallele ordinarie. Ciò si deve al fatto che le più eleganti proprietà che s'incontrano studiando queste ultime dipendono sostanzialmente dal requisito c). Si può quindi cercare di estendere il concetto di parallelismo, in modo da conservare, ove sia possibile, alle nuove parallele i caratteri che dipendono dalla equidistanza euclidea. Perciò, seguendo W. K. CLIFFORD [1845-1879], lasciamo cadere, nella definizione di parallele, il requisito della coplanarità, fermi restando gli altri due. La nuova definizione di parallele sarà dunque la seguente: due rette, coplanari o sghembe, si dicono parallele quando i punti dell'una sono equidistanti dall'altra.


§ 2. Si presentano allora due casi, a seconda che sifatte parallele appartengano o no allo stesso piano. [vedi figura 64.png] [p. 194 modifica]

Il caso in cui le rette equidistanti siano coplanari è senz'altro esaurito, inquantochè i precedenti sviluppi [§ 8] ci permettono di asserire che lo spazio corrispondente è l'ordinario euclideo. Supporremo perciò che le due rette equidistanti r, s siano sghembe e che i segmenti di perpendicolare calati dai punti di r su s siano uguali: questi segmenti saranno evidentemente perpendicolari anche ad r. Siano AA', BB' due sifatti segmenti. Il quadrilatero sghembo ABB'A', che così ne risulta, ha i quattro angoli retti e due lati opposti uguali. È facile vedere che anche gli altri due lati opposti AB, A'B' sono uguali e che ciascuna diagonale, ad es AB', forma con le due parallele angoli alterni interni uguali. Ciò risulta dalla congruenza dei due triangoli rettangoli AA'B', AB'B.

Se ora si esamina il triedro A (A'B'B), in forza d'un teorema sulle faccie, valido ad un tempo nei tre sistemi geometrici, potremo scrivere:


A'AB' + B'B > A'AB = 1 retto.


Questa relazione, stante l'uguaglianza dei due angoli AB'A', B'AB, può scriversi così:


A'AB' + AB'A' > 1 retto.


Sotto la nuova forma essa ci dice che nel triangolo rettangolo AA'B' la somma degli angoli acuti è maggiore di un angolo retto. Ciò significa che nel triangolo in discorso è verificata l'ip. ang. ottuso e conseguentemente che le parallele sghembe possono sussistere solo nello spazio di RIEMANN.


§ 3. Per dimostrare poi che nello spazio ellittico di RIEMANN esistono effettivamente delle coppie di rette sghembe [p. 195 modifica]equidistanti, consideriamo una retta arbitraria r e gli infiniti piani ad essa perpendicolari: questi piani passano tutti per un'altra retta r', la polare di r nella polarità assoluta dello spazio ellittico. Un qualsiasi segmento che congiunga un punto di r con un punto di r' è perpendicolare tanto ad r quanto ad r' ed ha una lunghezza costantemente uguale alla semiretta. Da ciò risulta che r ed r' sono rette sghembe equidistanti.

Ma due sifatte equidistanti offrono un caso particolarissimo, inquantochè tutti i punti di r hanno la stessa distanza non solo da r, ma da tutti i punti di r'.

Per mettere in luce l'esistenza di rette equidistanti, in cui l'ultima particolarità non abbia luogo, consideriamo ancora due rette r ed r', l'una polare dell'altra e su di esse i rispettivi segmenti AB, A'B' uguali ad un segmento dato, minore della semiretta1. Congiungendo A con A' e B con B' si ottengono due rette a, b, non polari l'una dell'altra e perpendicolari entrambe alle due rette r, r'. Si può facilmente dimostrare che a e b sono equidistanti. Perciò si fissi su AA' un segmento A'H, poi sul segmento supplementare2 di A'HA si fissi il segmento AM uguale ad A'H. [p. 196 modifica]Congiunti i punti H ed M rispettivamente con B' e B si ottengono due triangoli rettangoli A'B'H, ABM, che, in forza delle costruzioni fatte, risultano congruenti. Si avrà perciò la seguente uguaglianza:


HB' = BM


Se ora si congiunge H con B e si paragonano i due triangoli HB'B, HBM, si vede immediatamente ch'essi sono uguali, avendo il lato HB in comune, i lati HB', MB uguali in forza della precedente relazione, i lati B'B e HM pure uguali perchè ciascuno di essi è una semiretta. I due triangoli in discorso avranno perciò uguali anche le altezze HK, BA corrispondenti ai lati uguali BB' e HM'. Ciò esprime, in altre parole, che i vari punti della retta a sono equidistanti dalla retta b. E poichè il ragionamento può ripetersi partendo dalla retta b, calando le perpendicolari sulla a, si conclude che il segmento HK, oltre essere perpendicolare a b è anche perpendicolare ad a.

Si osservi poi che dall'uguaglianza dei vari segmenti AB, HK, A'B'... si deduce l'uguaglianza dei rispettivi segmenti supplementari, per cui le due rette a, b possono riguardarsi equidistanti l'una dall'altra in due modi diversi. Quando poi avvenisse che il segmento AB fosse uguale al suo supplementare, allora si presenterebbe il caso eccezionale precedente notato, in cui a e b sono polari l'una dell'altra e conseguentemente tutti i punti di a avrebbero uguale distanza dai vari punti di b.


§ 4. Le parallele sghembe dello spazio ellittico furono scoperte da CLIFFORD nel 18733. Ecco, le loro proprietà più notevoli. [p. 197 modifica]

1). Due parallele formano con ogni loro trasversale angoli corrispondenti uguali, angoli alterni interni uguali, etc.

2). Se in un quadrilatero sghembo i lati opposti sono uguali e gli angoli adiacenti supplementari, i lati opposti sono paralleli.

Un sifatto quadrilatero potrà quindi chiamarsi parallelogramma sghembo.

Delle due enunciate proprietà la prima si verifica immediatamente, la 2) potrebbe dimostrasi con un ragionamento dello stesso tipo di quello del § 3.

3). Se due segmenti sono uguali e paralleli, congiungendo opportunamente i loro estremi si ottiene un parallelogramma sghembo.

Questa proprietà, che può considerarsi, in un certo senso, come inversa della 2), è pure essa di immediata verificazione.

4). Per un punto qualunque [M] dello spazio, che non appartenga alla polare di una retta [r], passano due parallele a quella retta.

Infatti, dal punto M si cali la perpendicolare MN su r e sia N' il punto in cui la polare di MN interseca la r. Su questa polare si fissino poi i due segmenti N'M', N'M" uguali ad NM e si congiungano i punti M', M con M. Le due rette r', r", così ottenute, sono le parallele richieste.

Se poi M appartenesse alla polare di r, sarebbe MN uguale alla semiretta ed i due punti M", M' coinciderebbero. Conseguentemente [p. 198 modifica]verrebbero a coincidere anche le due parallele r', r".

L'angolo compreso fra le due parallele r' r" può misurarsi col segmento M'M" che i suoi lati intercettano sulla polare del vertice: allora potremo dire che la metà dell'angolo r' r", cioè l'angolo di parallelismo, è uguale alla distanza di parallelismo.

Per distinguere le due parallele r', r" consideriamo un movimento elicoidale dello spazio, di asse MN, nel quale evidentemente resta fisso il fascio dei piani perpendicolari ad MN e l'asse M'M" di questo fascio. Un tale movimento si può considerare come risultante da una traslazione lungo MN, accompagnata da una rotazione intorno alla stessa retta; oppure da due traslazioni, l'una lungo MN, l'altra lungo M'M". Se le due traslazioni hanno uguale ampiezza si ottiene uno scorrimento dello spazio.

Gli scorrimenti possono essere destrorsi o sinistrorsi. Allora, riferendoci alle due parallele r', r", è chiaro che una di esse potrà sovrapporsi ad r con uno scorrimento destrorso di ampiezza MN, mentre l'altra si sovrapporrebbe ad r con uno scorrimento sinistrorso della stessa ampiezza. Perciò le due rette r', r" si dovranno dire l'una parallela destrorsa, l'altra parallela sinistrorsa ad r.

5) Due parallele destrorse [sinistrorse] ad una stessa retta sono parallele destrorse [sinistrorse] fra loro.

Siano b, c parallele destrorse ad a. Dai due punti A, A' di a, distanti fra loro della semiretta, caliamo le perpendicolari AB, A'B' su b e le perpendicolari AC, A'C' su c. Le [p. 199 modifica]rette A'B', A'C' sono le polari di AB ed AC, perciò l'angolo BAC è uguale all'angolo B'A'C'. Inoltre, per le proprietà delle parallele, sussistono le seguenti uguaglianze segmentarie:


AB = A'B', AC = A'C',


per cui i due triangoli ABC, A'B'C' sono uguali. Segue l'uguaglianza dei due segmenti BC, B'C'. Inoltre essendo:


BB' = AA' = CC',


il quadrilatero sghembo BB'C'C ha i lati opposti uguali.

Ma per stabilire che b, c sono parallele occorre anche dimostrare che gli angoli adiacenti del quadrilatero in discorso sono supplementari [cfr. 2)]. Per ciò paragoniamo i due triedri B (AB'C), B' (A'B"C'). In essi sussistono intanto le seguenti uguaglianze tra faccie:


ABB' = A'B'B = 1 retto. ABC = A'B'C'.


Inoltre i due diedri di spigolo BA e B'A' sono entrambi uguali ad un diedro retto, diminuito [od aumentato] del diedro che ha per sezione normale l'angolo A'BB': segue l'uguaglianza dei due triedri in discorso, quindi l'uguaglianza delle due faccie B'BC, BB'C'. Da ciò si deduce che gli angoli B e B' del quadrilatero BB'C'C sono supplementari e successivamente [tracciando le diagonali del quadrilatero, etc.] che B è supplementare di C, che C è supplementare di C', etc.

Potremo dunque asserire che b e c sono parallele. Che il parallelismo fra b e c sia destrorso, se tale è il parallelismo fra le due rette in discorso e la retta a, si verifica intuitivamente esaminando la figura.

  1. Nella fig. 65, mancano le due lettere r, r', corrispondenti alle due rette AB, A'B'
  2. I due segmenti che due punti determinano sopra una retta si dicono supplementari.
  3. «Preliminary Shetch on Biquaternions.»; Proceedings of the London Math. Society, t. IV p. 381-95 [1873] — Math. Papers di CLIFFORD; p. 181-200.