Matematiche Fascicolo secondo/Tema secondo - Capitolo I/Caso III/Esempio II

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Esempio II

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Tema secondo - Capitolo I - Esempio I Tema secondo - Capitolo III
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Esempio II.


Estrarre la radice quadrata dal numero 76 807 697.

Ecco il tipo del calcolo

8764
7 6,8 0,7 6,9 7
1 2 8.0
1 1 1 7.6
7 0 0 9.7
1 resto
che io eseguisco così

Fissata la prima cifra 8 al suo posto, dico

«8 via 8, 64. Da 76, 64, 12. Poi 8 in 128? 16; la metà 8; ma è troppo; dunque 7. (Segno 7 alla radice). Poi 7 via 7, 49. Da 50, 49, 1, Poi 7 via 8, 56; e 56, 112; [p. 45 modifica]e 5, 117. Da 128, 117, 11. Poi 87 in 1117?. 12; la metà? 6. (Segno 6 alla radice). Poi 6 via 6, 36. Da 36, 36, 0. Poi 6 via 7, 42; e 42, 84; e 3, 87. Da 87, 87, 0. Poi 6 via 8, 48; e 48, 96; e 8, 104. Da 111, 104, 7. Poi 8 in 70? 8; la metà? 4. (Segno 4 alla radice). Poi 4 via 4, 16. Da 17, 16, 1. Poi 4 via 6, 24; e 24, 48; e 1 49. Da 49, 49, 0. Poi 4 via 7 28; e 28 56; e 4 60. Da 60, 60, 0. Poi 4 via 8, 32, e 32, 64; e 6, 70. Da 70, 70, 0».

Dunque finalmente ho 1 per resto, e 8 764 per radice.

Per tutto ciò, che abbiamo fin qui visto e fatto, non ci riuscirà difficile il riscontrare per nostro esercizio i seguenti tipi di calcolo di altri sei esempj.

4164
17,34,56,73
13.4
535.6
4007.3
6777
33333
11,11,08,88,89
21.1
220.8
2198.8
19998.9
0
7538
56,82,14,44
78.2
571.4
12054.4
0
[p. 46 modifica]
54027
11,57,83,67,29
25.7
1836.7
47632.9
0
7348
54,00,00,00
500
710.0
124400
6896


295917
8,75,67,00,00,00
47.5
346.7
5420.0
10190.0
427190.0
129111

19. Passando adesso alla Estrazione delle radici cubiche, se ci rammentiamo del modo di composizione delle cifre d’un cubo per mezzo di quelle della sua radice (Tema primo, esempi di pag. 67, 70, secondo l’avvertenza di pag. 66), è facil rilevare, che spezzando un cubo scritto colle sue cifre equidistanti tra loro, a cominciar da destra, in classi di tre cifre ciascuna (potendo l’ultima classe a sinistra restare di due cifre, ed anche d’una cifra sola), in retrocedendo poi da sinistra verso destra,

1.° La prima classe conterrà sicuramente il cubo della prima cifra della radice,

2.° Le due prime classi conterranno sicuramente il cubo delle due prime cifre della radice, [p. 47 modifica]

3.° Le tre prime classi conterranno sicuramente il cubo delle tre prime cifre della radice, e così di seguito.

Quindi segue, che proposto un numero qualunque, di cui si cerchi la radice cubica, ossìa la radice del più gran cubo perfetto in esso contenuto, se, a cominciar da destra, si spezza in classi di tre cifre ciascuna,

1.° La cifra della radice del più gran cubo, contenuto nella prima classe a sinistra, sarà la prima cifra della radice, che si cerca,

2.° Le due cifre della radice del più gran cubo, contenuto nelle due prime classi a sinistra, saranno le due prime cifre della radice, che si cerca,

3.° Le tre cifre della radice del più gran cubo, contenuto nelle tre prime classi a sinistra, saranno le tre prime cifre della radice, che si cerca; e così di seguito.

Si dice, che coteste cifre saranno precisamente le successive cifre della radice, che si cerca, perchè, se esse si supponessero più grandi, la prima, le due prime, le tre prime,...... classi di cifre del numero proposto non potrebbero più contenere il cubo respettivo di una, di due, di tre,...... prime cifre della nuova radice; e se si supponessero più piccole, il cubo della nuova radice, sottratto dal numero [p. 48 modifica]proposto, non esaurirebbe questo numero più da vicino, che fosse possibile, ossìa non sarebbe ilpiù gran cubo perfetto in esso contenuto.

Ora rammentandoci ciò, che intendiamo per prodotto parziale di più cifre relativamente al loro cubo (Tema primo, pag. 65), ed osservando, che il cubo di tutte coteste cifre può riguardarsi come la somma del loro prodotto parziale, e del cubo di quelle, che sono alla sinistra della prima a destra, si conclude.

1.° Che, assegnata la cifra della radice del più gran cubo, contenuto nella prima classe a sinistra del numero proposto, e sottrattone questo cubo, il resto, che si otterrà, dopo avere scritte di seguito a lui le cifre della seconda classe (e che così si chiamerà resto completato), bisognerà, che contenga il più gran prodotto parziale, che si possa formare con due cifre, delle quali la prima sia la trovata.

2.° Che, assegnata la seconda di queste cifre, e sottratto il prodotto parziale d’ambedue dal precedente resto completato, il nuovo resto che si ottiene, completato anch’esso collo scrivere di seguito a lui le cifre della terza classe, bisognerà che contenga il può gran prodotto parziale, che si possa formare con tre cifre, delle quali le due prime siano le trovate. [p. 49 modifica]

3.° Che, assegnata la terza di queste cifre, e sottratto il prodotto parziale di tutte e tre dall’ultimo resto completato, bisognerà che il nuovo resto, completato anch’esso nello stesso modo, contenga il più gran prodotto parziale, che si possa formare con quattro cifre, delle quali le tre prime siano le trovate; e così di seguito.

20. All’oggetto di determinare attualmente coteste cifre l’una dopo l’altra, ossìa di determinarne una qualunque dopo aver determinate le precedenti a lei, se si riscontra, (Tema primo, pag. 65) che il prodotto parziale di più cifre relativamente al loro cubo resulta dall’addizione del cubo della prima cifra a destra ch’è di unità semplici, riunito col triplo del prodotto del quadrato di questa cifra per le altre a sinistra, che sono di diecine; ed inoltre del triplo del prodotto del quadrato di queste seconde cifre per la prima, il qual triplo prodotto sarà di centinaja, è facil concepire, che se da ciascun resto completato, il quale deve contenere il respettivo prodotto parziale, si escludono le due prime cifre a destra, il numero che resta, espresso dalle altre essendo di centinaja, conterrà sicuramente il triplo del prodotto del quadrato delle cifre trovate alla radice per la cifra consecutiva incognita da [p. 50 modifica]determinarsi. Dividendo dunque cotesto numero pel quadrato del numero espresso dalle cifre già trovate della radice, il terzo del quoziente che si trova, ossìa il quoziente di questo quoziente, diviso per 3, diminuito o nò di una, di due,....... unità, e di una cifra sola, sarà la cifra che si cerca, consecutiva a quelle già determinate.

Ho detto diminuito o nò, di, una, di due,...... unità, giacché per quello che precede, bisogna che il prodotto parziale di tutte coteste cifre non superi il corrispondente resto completato; lo che riscontrando a parte si dice, che si sperimenta la cifra ultima. Accingendomi io pertanto all’attuale estrazione della radice cubica da un numero proposto, opero come segue.

«Spezzo il proposto numero, scritto colle sue cifre tutte equidistanti tra loro, con virgole «in classi di tre cifre ciascuna da destra verso sinistra, e copertolo con una linea orizzontale (ritenendo in mente, che i nove numeri seguenti

«1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, sono i respettivi cubi perfetti delle nove cifre, o radici 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ), a cominciar da destra

«1.° Cerco fra i suddetti nove numeri il massimo contenuto nella prima classe; ed [p. 51 modifica]avuta la cifra della sua radice, la scrivo sopra alla linea tirata, corrispondentemente a cotesta prima classe.

«2.° Sottratto da una tal classe il cubo della cifra trovata, io completo il resto coll’abbassare presso di lui in colonna le tre cifre della seconda classe, e ne separo le prime due a destra con un punto; indi, fatto a parte il quadrato della cifra trovata, cerco il quoziente per questo delle altre cifre a sinistra del punto; e prendendo di questo quoziente il terzo, sperimento la cifra che trovo, come seconda cifra della radice, col fare il prodotto parziale d’ambedue relativo al caso presente di cubo (Tema primo, pag. 65); dopo di che io scrivo cotesta cifra sopra la linea orizzontale corrispondentemente alla seconda classe.

«3.° Sottratto il prodotto parziale delle due cifre trovate dal precedente resto completato, completo da capo il nuovo resto coll’abbassare presso di lui in colonna le cifre della terza classe; e ne separo le due prime a destra con un punto; indi, fatto a parte il quadrato delle due cifre trovate, cerco il quoziente per questo delle altre cifre a sinistra del punto e prendendo di questo quoziente il terzo; sperimento la cifra, che trovo, come [p. 52 modifica]terza cifra della radice, col fare, come precedentemente, il prodotto parziale di tutte tre le cifre trovate; dopo di che scrivo cotesta cifra sopra la linea orizzontale corrispondentemente alla terza classe. Seguitando ad operare nella stessa guisa fino ad aver completato il penultimo resto coll’abbassate presso di lui in colonna le cifre della ultima classe, la cifra che avrò sperimentata, scritta sopra la linea orizzontale corrispondentemente a cotesta classe, sarà l’ultima delle cifre della radice, che cerco; ed il rete sto seguente sarà l’ultimo, che avanza al più gran cubo contenuto nel numero proposto; ossìa sarà il residuo, che si vuole dopo la sottrazione d’un tal cubo nel presente nostro Caso III.

21. Passiamo a dare un esempio.

Estrarre la radice cubica dal numero 45 270 270 627. [p. 53 modifica]

Ecco il tipo del calcolo

5564
45,270,270,627
182.70
23952.70
1522546.27
483 resto
9
325
1225
4236
126736
25
315
3175
36
5340
3204
373836
16
64152
53460
32076
38063536
che io eseguisco, come segue

«Fissata al suo posto la cifra 3, come radice del più gran cubo 27 contenuto in 45, sottraggo 27 da 45, ed ho per resto 18. Comtpleto questo primo resto con 270, ed ho 18270. Fatto a parte il quadrato 9 della cifra 3, divido per questo il numero 182, ed avuto 20 per quoziente, il terzo di questo, cioè 6, sarebbe troppo; però segno 5 alla radice. Fatto a parte il calcolo sopra le due cifre 35, come a pagina 67 del Tema primo, ed ottenuto il resultato 3175, sottraggo [p. 54 modifica]il prodotto di questo per la cifra 5, che sarà il primo prodotto parziale, da 18270, ed ho 2395 per secondo resto. Completo questo secondo resto con 270, ed ho 2395270. Sotto al quadrato 9 della prima cifra 3 della radice scrivo il numero 325, come prodotto parziale relativo al quadrato delle due cifre 35, ed addizionando ho così 1225 pel quadrato di 35. Divido per questo quadrato il numero 23952, ed avuto 18 per quoziente, ne scrivo il terzo 6 come terza cifra della radice. Indi sulle tre cifre 356 fatto un calcolo simile al precedente sulle due 35, ed ottenuto il resultato 373836, sottraggo il prodotto di questo per la cifra 6, che è il secondo prodotto parziale, da 2395270, ed ho 152254 per terzo resto. Completo questo terzo resto con 627, ed ho 152254627; Sotto al quadrato 1225 delle due prime cifre 35 della radice scrivo il numero 4236, come prodotto parziale relativo al quadrato delle tre cifre 356, ed addizionando ho così 126736 pel quadrato di 356. Divido per questo quadrato il numero 1522546, ed avuto 12 per quoziente, ne scrivo il terzo 4, come quarta cifra della radice; indi sulle quattro cifre 3564, fatto a parte un terzo calcolo simile ai due precedenti, ed [p. 55 modifica]ottenuto il resultato 38063536, sottraggo il prodotto di questo per 4, ch’è il terzo prodotto parziale, da 152254627; ed ho 483 per ultimo resto, dopo che ho ottenuta la radice 3 564 del numero proposto nel nostro esempio.»

22. All’oggetto di semplificare le precedenti operazioni, rammentandoci, che il prodotto parziale relativo al cubo d’un numero di più cifre si compone, come segue (Tema primo, pag. 63, 65), cioè

1.° Del cubo della prima cifra a destra di quel numero;

2.° Del triplo prodotto del quadrato di questa cifra per le altre a sinistra;

3.° E del triplo prodotto del quadrato di queste seconde cifre per la prima;

con un pò di riflessione è facile persuadersi, che, se si moltiplica quel numero, o le sue cifre, per la prima cifra a destra, coll’avvertenza di triplicare ciascun prodotto delle altre incominciando dalla seconda, cioè da quella delle diecine, ed il prodotto totale che si ottiene, si aggiunge al triplo del quadrato di coteste altre seconde cifre, la somma che si troverà, moltiplicata per la medesima prima cifra a destra, ci darà pure il medesimo prodotto parziale, che si vuole.
[p. 56 modifica]

Operando in questo secondo modo, siccome si ha già preparato il quadrato di quelle seconde cifre, il calcolo per formare ciascun prodotto parziale successivo riesce più spedito.

Eccone il tipo per l’esempio precedente senza stare a dare dettaglio alcuno

3564
45,270,270,627
18270
23952.70
1522546.27
483
9
325
1225
4236
126736
27
475
5175
3675
6336
373836
380208
42736
38063536

Ecco i tipi d’un calcolo simile per tre altri esempj, su i quali bisogna esercitarsi molto. [p. 57 modifica]

3714
51,230,158,344
242.30
5771.58
1653473.44
0
9
469
1369
741
137641
27
679
3379
4107
1111
411811
412923
44536
41336836


2308
12,305,472,000
43.05
1384.720.00
11069888
4
129
52900
12
189
1389
158700
55264
15925264
[p. 58 modifica]
32068
32,977,340,218,432
59.77
2093402.18
246744024.32
0
9
121
102400
58436
10278436
27
184
2884
307200
57656
50777636
30835508
769504
3084500504