La geometria non-euclidea/Capitolo V/Subordinazione della geometria metrica alla proiettiva
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Indirizzo proiettivo
SUBORDINAZIONE DELLA GEOMETRIA METRICA ALLA PROIETTIVA.
§. 79. Finalmente anche la geometria proiettiva sta in un'elegante relazione coi tre sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN.
Per dare un'idea anche di quest'ultimo modo di trattare il problema rammentiamo che la geometria proiettiva, secondo il sistema di G. C. STAUDT [1798-1867], riposa esclusivamente sopra le nozione grafiche relative ai punti, alle rette, ai piani e bandisce sistematicamente ogni concetto di congruenza e di movimento [quindi di misura etc.]. Per la qual cosa la geometria proiettiva, prescindendo da un certo gruppo di postulati, comprenderà un numero più ristretto di proprietà generali, le quali, per quanto concerne le figure piane, sono le proprietà [proiettive] che restano invariate per proiezioni e sezioni.
Non di meno, fondata nello spazio la geometria proiettiva, possono introdursi nell'organismo di essa i concetti metrici, come relazioni delle figure con certi enti [metrici] particolari.
Restringendoci al caso del piano euclideo vediamo di quale interpretazione grafica siano suscettibili i concetti metrici fondamentali di parallelismo e di ortogonalità.
Giova, a tale scopo, considerare in modo speciale la retta all'infinito del piano e l'involuzione assoluta che su di essa determinano le coppie di raggi ortogonali di un fascio. I punti doppi di tale involuzione, immaginari coniugati, vengono denominati punti ciclici, per la loro proprietà di appartenere a tutti i cerchi del piano [ PONCELET, 18221].
Ciò posto, il parallelismo di due rette si esprime graficamente con la proprietà che esse hanno di concorrere in un punto della retta all'infinito; l'ortogonalità di due rette si esprime graficamente con la proprietà dei loro punti all'infinito, di essere coniugati nella involuzione assoluta, cioè di separare armonicamente i punti ciclici [CHASLES, 18502].
Altre proprietà metriche, che possono esprimersi graficamente, sono quelle inerenti alle grandezze angolari, imperocchè ogni relazione:
F (,A,.B,.C...) = 0,
fra gli angoli A, B, C,...., può sostituirsi con l'altra:
[vedi formula 146.png] log a
in cui a, b, c,.... sono i birapporti formati dai lati degli angoli con le rette [immaginarie] che dal loro vertice proiettano i punti ciclici [LAGUERRE, 18533].
Più in generale si dimostra che la congruenza tra due figure piane qualunque può esprimersi con una relazione grafica di esse colla retta all'infinito e l'involuzione assoluta4 e poichè la congruenza è il fondamento di tutte le proprietà metriche, segue che la retta all'infinito e l'involuzione assoluta permettono di subordinare alla geometria proiettiva tutte le proprietà della geometria metrica euclidea. Le proprietà metriche compariscono dunque nella geometria proiettiva non come proprietà grafiche delle figure considerate in sè stesse, ma come proprietà grafiche in relazione agli enti metrici fondamentali, costituiti dalla retta all'infinito e dalla involuzione assoluta.
L'insieme degli enti metrici fondamentali si denomina brevemente assoluto del piano [CAYLEY].
Quanto abbiamo detto per il piano si estende naturalmente allo spazio. Nello spazio gli enti metrici fondamentali, che permettono di subordinare le proprietà metriche alle grafiche, sono il piano all'infinito ed una certa polarità [polarità assoluta] su questo piano, segata dalla polarità della stella che ad ogni retta fa corrispondere il piano ortogonale [cfr. § 71]. La conica fondamentale di detta polarità è immaginaria, perchè nella stella non esistono rette reali che giaciano sul rispettivo piano perpendicolare. Si vede poi facilmente ch'essa contiene tutte le coppie di punti ciclici appartenenti ai vari piani dello spazio e che perciò risulta comune a tutte le sfere. Da ciò la denominazione di cerchio ciclico per l'ente metrico fondamentale dello spazio.
§ 80. Sorgono ora spontanee le due domande seguenti.
1.° Nelle ipotesi non-euclidee è possibile la fondazione della geometria proiettiva?
2.° Data la possibilità di tale fondazione, le proprietà metriche potranno, come nel caso euclideo, subordinarsi alle proiettive?
La risposta è affermativa per entrambe. Se nello spazio è valido il sistema di RIEMANN la fondazione della geometria proiettiva non offre difficoltà alcuna, pel fatto che si trovano senz'altro verificate le proprietà grafiche che stanno a base dell'ordinaria proiettiva dopo l'introduzione degli enti impropri. Se nello spazio è valido il sistema di Lobacefski-Bolyai si può ancora fondare la geometria proiettiva introducendo, con opportune convenzioni, dei punti, rette e piani impropri o ideali, per mezzo dello stesso criterio che ordinariamente si segue nel caso euclideo per completare lo spazio con gli elementi all'infinito. Basterebbe, per ciò, considerare, accanto alla stella propria [insieme delle rette passanti per un punto], due stelle improprie, formate l'una da tutte le rette parallele in uno stesso senso ad una retta data, l'altra da tutte le perpendicolari ad un piano dato, ed introdurre dei punti impropri da riguardarsi come centri di queste stelle.
Senonchè i punti impropri appartenenti ad un piano non possono, in questo caso, come nell'euclideo, assegnarsi ad una retta [retta all'infinito]: essi costituiscono una intera regione, separata dalla regione dei punti effettivi [punti propri] da una conica [conica limite o all'infinito]. Questa conica è il luogo dei punti impropri determinati dai fasci di rette parallele.
Nello spazio poi i punti impropri sono separati dai punti propri da una quadrica non rigata [quadrica limite o all'infinito], luogo dei punti impropri secondo cui s'intersecano le rette parallele. Stabilita la validità della geometria proiettiva anche nelle ipotesi non-euclidee [KLEIN5], per ottenere la subordinazione della metrica alla proiettiva basta considerare, come nel caso euclideo, gli enti metrici fondamentali [assoluto] ed interpretare le proprietà metriche delle figure come relazioni grafiche di esse rispetto a questi enti. Sul piano di Lobacefski-Bolyai l'ente metrico fondamentale è la conica limite che separa la regione dei punti propri da quella dei punti impropri; sul piano di RIEMANN è una conica immaginaria, definita dalla polarità assoluta del piano [cfr. § 71 – punto c seconda colonna].
Tanto nell'uno quanto nell'altro caso le proprietà metriche delle figure sono tutte le proprietà grafiche che rimangono inalterate nelle trasformazioni proiettive6 che lasciano fisso l'assoluto.
Queste trasformazioni proiettive costituiscono poi gli infinito3 movimenti del piano non-euclideo.
Nel caso euclideo le nominate trasformazioni [che non alterano l'assoluto] sono le infinito4 similitudini, fra cui, in particolare, si trovano gli infinito3 movimenti.
Nello spazio la subordinazione della metrica alla proiettiva si fa per mezzo della quadrica limite [assoluto dello spazio]. Se questa è reale si ottiene la geometria di Lobacefski-Bolyai, se è immaginaria si ottiene quella di RIEMANN, tipo ellittico.
Le proprietà metriche delle figure sono dunque le proprietà grafiche dello spazio in relazione al suo assoluto, cioè le proprietà grafiche che rimangono inalterate in tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso l'assoluto dello spazio.
§ 81. Come si esprimono, rispetto all'assoluto, i concetti di distanza e di angolo?
Introdotto sul piano proiettivo un sistema qualunque di coordinate omogenee (x1, x2, x3), che permetta di rappresentare la retta con equazioni lineari, l'equazione della conica assoluto sarà del tipo: [vedi formula 150.png]
Allora, la distanza dei due punti X(x1, x2, x3), Y(y1, y2, y3) viene espressa, a meno d'un fattore costante, dal logaritmo del birapporto del gruppo ch'essi formano coi punti M, N in cui la loro congiungente incontra l'assoluto.
Ponendo poi:
[vedi formula 150_b.png]
e rammentando, dalla geometria analitica, che il birapporto dei quattro punti X, Y, M, N è dato da:
[vedi formula 150_c.png]
l'espressione Dxy della distanza sarà dunque:
[vedi formula 150_d.png]
ovvero, introducendo le funzioni inverse delle funzioni circolari ed iperboliche7:
[vedi formula 150_e.png]
La costante k, che comparisce in queste formule, è poi legata alla curvatura K di RIEMANN dalla seguente relazione:
K = 1/k2
Per l'interpretazione proiettiva del concetto di angolo valgono considerazioni analoghe. L'angolo di due rette è proporzionale al logaritmo del birapporto del gruppo ch'esse formano con le tangenti condotte all'assoluto pel loro punto comune.
Se si vuole poi che la misura dell'intero fascio sia data da 2 pigreco, come nell'ordinaria metrica, è necessario assumere per fattore di proporzionalità la frazione 1/2i . Per esprimere poi analiticamente l'angolo di due rette u (u1 u2 u3), v (v1 v2, v3), poniamo:
[vedi formula 151_a.png].
Se bij è il complemento algebrico dell'elemento aij del discriminante di omega xx l'equazione tangenziale dell' assoluto è data da:
[vedi formula 151_b.png]
e l'angolo di due rette dalle seguenti formule:
[vedi formula 151_c.png]
Una espressione identica vale per la distanza di due punti e l'angolo di due piani nella geometria dello spazio: basterebbe supporre che:
[vedi formula 152_a.png]
rappresentassero le equazioni [puntuale e tangenziale] dell'assoluto dello spazio, anzichè dell'assoluto del piano. A seconda che omegaxx = 0 è l'equazione di una quadrica reale a punti ellittici ovvero di una quadrica immaginaria le formule si riferiranno alla geometria di Lobacefski-Bolyai od alla geometria di RIEMANN.
§ 82. Le formule precedenti, relative all'angolo di due rette o due piani, contengono, come caso particolare, quelle dell'ordinaria metrica. Infatti, riferendoci per semplicità al piano e ad un sistema ortogonale di assi coordinati, l'equazione tangenziale dell'assoluto euclideo [punti ciclici, § 79] è
u12 + u22 = o
La formula (2'), ponendo in essa:
[vedi formula 152_b.png]
diventa:
[vedi formula 152_c.png]
da cui:
[vedi formula 152_d.png]
Se ora si tien conto che i coseni direttori della retta, u(u1, u2, u3) sono:
[vedi formula 153_a.png]
l'ultima relazione diventa:
cos uv = cos ux cos vx + cos uy cos vy,
cioè l'ordinaria espressione che dà l'angolo di due rette nel piano euclideo.
Per la distanza di due punti X, Y le cose non procedono così semplicemente quando l'assoluto degenera nei punti ciclici. Infatti le due intersezioni M, N della retta XY con l'assoluto coincidono allora nell'unico punto all'infinito di questa retta e la formula (1) dà costantemente:
[vedi formula 153_b.png]
Tuttavia un opportuno artifizio permette di ottenere l'ordinaria formula della distanza come caso limite della (3).
Per raggiungere più facilmente lo scopo immaginiamo le equazioni dell'assoluto [non degenere], in coordinate di punti e di rette, ridotte alla forma:
[vedi formula 153_c.png]
Allora, ponendo:
[vedi formula 153_d.png]
la (3) del precedente § dà:
[vedi formula 153_e.png]
Sia epsilon infinitamente piccolo: trascurando infinitesimi di ordine superiore al 2° potremo, nella formula precedente, sostituire all'arco il seno. Se poi scegliamo k2 infinitamente grande, in modo che il prodotto ik radice di epsilon si mantenga finito ed uguale all'unità per ogni valore di epsilon, la formula in discorso diventa:
[vedi formula 154_a.png]
Passiamo ora al limite per, epsilon = o. L'equazione tangenziale dell'assoluto diventa:
u12 + u22 = o;
corrispondentemente la conica degenera in due punti immaginari coniugati posti sulla retta u3 = o. La formula della distanza, introducendo le coordinate non omogenee:
Xi = xi/x3, Yi = yi/y3,
assume la forma,
Dxy = radice di [(X1 - X2,)2 + (Y1 - Y2)2],
la quale è caratteristica per la geometria euclidea. Con ciò è raggiunto il nostro scopo.
Richiamiamo l'attenzione sul fatto che per ricavare dalla formula generale della distanza quella speciale del caso euclideo, dovemmo far tendere k2 all'infinito. E poichè la curvatura di RIEMANN è data da
- 1/k2,
si ottiene, anche per questa via, una conferma del risultato che assegna allo spazio euclideo una curvatura riemanniana nulla.
§ 83. Le proprietà delle figure piane in relazione ad una conica e quelle dello spazio in relazione ad una quadrica, costituiscono, nel loro insieme, la metrica proiettiva. La metrica proiettiva fu studiata da CAYLEY8, indipendentemente dalle relazioni ch'essa ha con le geometrie non euclidee, relazioni che furono scoperte ed illustrate qualche anno dopo da F. KLEIN9.
A KLEIN è pure dovuta una nomenclatura molto usata per le metriche-proiettive. Egli chiama geometria iperbolica, la geometria di CAYLEY relativa ad un assoluto reale non degenere, geometria ellittica quella relativa ad un assoluto immaginario non degenere, geometria parabolica il caso limite delle due precedenti. Sicchè, nel seguito, potremo usare questa nomenclatura per denotare i tre sistemi geometrici di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico] di Euclide.
- ↑ «Traité des propriétés projectives des figures», 2a ed., t. I, n.° 94, p. 48 [Paris, G. Villars, 1865].
- ↑ «Traité de Géométrie supérieure. », 2a ed., n° 660, p. 425 [Paris, G. Villars, 1880].
- ↑ «Sur la theorie des foyers.», Nouv. Ann., t. XII, p. 57 — Oeuvres de LAGUERRE, t. II, p. 12-3, [Paris, G. Villars, 1902].
- ↑ Vedi, ad es., le «Lezioni di Geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, p. 177-88. [Bologna, Zanichelli, 2a ed., 1904].
- ↑ La questione dell'indipendenza della geometria proiettiva dalla teoria delle parallele è rapidamente toccata da KLEIN nella sua prima pubblicazione «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871]. Un più ampio sviluppo della questione si può vedere nella seconda pubblicazione di KLEIN sullo stesso argomento: Math. Ann., t. VI, p. 112-145 [1873].
- ↑ È noto che per trasformazioni proiettive s'intendono quelle trasformazioni che fanno corrispondere ad un punto un punto, ad una retta una retta, a punto e retta che si appartengono punto e retta che si appartengono.
- ↑ Le relazioni fra le funzioni circolari, iperboliche e la funzione logaritmica sono contenute nelle seguenti identità: [vedi formula 150_f.png]
- ↑ Cfr.: «Sixth Memoir upon Quantics.»; Philosophical Transactions, t. CXLIX, p. 61-90 [1859]; ovvero: Math. Papers di CAYLEY, t. II p. 561-92.
- ↑ Cfr. «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871].