Cinesi, scuola e matematica/Temi ed aspetti della tradizione matematica cinese/Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese

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Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese

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Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese
Temi ed aspetti della tradizione matematica cinese - Simbologia e matematica dei quadrati magici Numeri, numerali e tecniche di calcolo

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3.2 Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese
3.2.1 Un filone particolare

</noinclude>Nel corso della sua lunghissima storia la cultura cinese ha sviluppato notevoli conoscenze e pratiche matematiche soprattutto in campo algebrico tra fasi diverse di apice e declino. Si tratta, almeno secondo le fonti storiografiche di origine europea, di una tradizione sostanzialmente autonoma dal filone greco-arabo col quale ha intrattenuto pochissimi scambi indiretti sino all’epoca dell’espansione coloniale del XIX secolo. Tra le cause di tale isolamento si possono ipotizzare due fattori: la situazione geografica del Paese, circondato da aree desertiche, montagne e mari; ed una visione assai alta ed esclusiva della propria identità culturale assai radicata nel popolo cinese da tempi molto antichi. Questa concezione è testimoniata anche dal nome tradizionale della Cina, 中国 (Zhōngguó), che significa Paese di mezzo, anche nel senso di Centro del mondo. Non si tratta di orgoglio nazionalista (che peraltro di tanto in tanto si è affacciato anche nella storia cinese) ma di un’idea generale del ruolo dell’uomo nel mondo che vede la Cina come teatro degli avvenimenti importanti per l’umanità.

Tendenze all’isolamento o addirittura alla diffidenza verso le innovazioni venute dall’estero si possono riscontrare in modo ricorrente nella storia cinese. D’altra parte anche quando il Paese venne conquistato da parte di popolazioni diverse, la cultura cinese seppe sempre prevalere, infine, su quella dei vincitori e trasformarli. Anche oggi la maggior parte dei Cinesi va assai fiera della sua cultura. Naturalmente la circolazione internazionale dei saperi arricchì, attraverso mediazioni culturali complesse, anche la produzione matematica cinese soprattutto suggerendo temi nuovi e campi di ricerca, ma i suoi autori vi dettero impostazioni e contributi originali.

Il calcolo è uno degli interessi principali di questa tradizione. Altri risultati notevoli riguardano i sistemi di rappresentazione dei numeri (alcuni in base 10 ed in grado di rappresentare agilmente numeri molto alti), gli interi negativi, le frazioni (con una ricca lista di regole per il calcolo algebrico), i decimali, diversi teoremi di algebra, geometria ed addirittura analisi. Molti teoremi che siamo soliti associare ai nomi della tradizione greco-araba hanno avuto uno scopritore cinese talora in epoche storiche precedenti. È il caso, ad esempio, del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo o del Triangolo di Tartaglia-Pascal, che dovrebbe essere ribattezzato premettendo il nome di Yáng Huī (杨辉) a quello dei due scienziati europei.

Uno dei temi ricorrenti della ricerca matematica cinese classica fu quello della stima di π (che naturalmente non era chiamato così). In questo i matematici cinesi superarono in precisione anche Archimede e tutti i loro colleghi greci. Questa tabella illustra alcuni passaggi storici di questa ricerca:

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Opera od autore Epoca Valore Metodo o fonte
Tradizione precedente i Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术) Sino al I secolo p.E.v. tradizione
Liu Xīn (刘歆) 46 p.E.v. – 23 E.v. ignoto
Zhāng Heng (张衡) 78 – 139 calcoli astronomici
rapporti tra aree e volumi
Liu Huī (刘徽) III secolo poligono inscritto di 192 lati
calcoli sul precedente
poligono inscritto di 3.072 lati
Zǔ Chōngzhī (祖冲之) 429 – 500 mi lǜ (密密, appr. precisa) e yue lǜ (約密, appr. grossolana)
poligono inscritto di 12.288 lati


3.2.2 Rapporti e confronto con la matematica greca

La differenza fondamentale rispetto alla matematica greca risiede nell’assenza dell’impostazione ipotetico-deduttiva e dell’altissimo livello di astrazione richiesto da quest’ultima: la ricerca cinese fu storicamente volta alla ricerca di soluzioni vieppiù generali di problemi che potevano avere origine da contesti pratici, dalla riflessione teorica od addirittura da arguti passatempi degli intellettuali. Le dimostrazioni, che tanto appassionavano i Greci, qui hanno un ruolo marginale e forme assai particolari.

Un’altra differenza notevole è che la matematica greca classica ed ellenistica ha un forte legame con la logica e la filosofia, cosa che influenzò tutto lo sviluppo successivo delle scienze in Europa, nel Medio Oriente e nel Nordafrica, e solo dal XV secolo E.v. si rivolse alla fisica e alle altre scienze, mentre invece la matematica cinese fin dalle primissime fasi fu legata all’astronomia per risolvere i problemi dell’esatta determinazione dello scorrere del tempo e delle posizioni dei corpi celesti. Non era solo una questione di predizioni astrologiche perché il cielo ed il calendario erano simbolicamente connessi con questioni politiche nella concezione del Mandato del cielo (天命 Tiānmìng): i corpi celesti potevano confermare la legittimità dei regnanti o segnalare il disappunto delle divinità per la loro condotta e richiedere la loro sostituzione, quindi era fondamentale avere strumenti raffinati di osservazione ed interpretazione. Questo sistema in qualche caso ebbe ragione dei meccanismi di avvicendamento dinastico e della selezione dei gruppi dirigenti basata sulla nobiltà di nascita permettendo l’accesso al potere anche a funzionari di origini diverse.

Analogamente a gran parte degli scienziati greci e rinascimentali i matematici cinesi furono per la maggior parte intellettuali a tutto campo, capaci di interessarsi interdisciplinarmente di moltissimi soggetti e di spaziare in campi molto diversi arricchendo i loro studi di interessanti collegamenti. Essendo notabili e uomini di cultura di un grande impero burocratico furono membri eccellenti dell’amministrazione statale. Così come molti dei grandi matematici greci, arabi ed europei furono anche filosofi, molti dei loro colleghi cinesi furono piuttosto astronomi. La parola chóurén (畴人) indicava infatti sia il matematico che l’astronomo.


3.2.3 Difficoltà di datazione ed attribuzione

Gran parte delle fonti scritte in cui la tradizione matematica cinese è stata codificata e trasmessa sono produzioni collettive cui talora ha lavorato tutta una scuola per secoli (Bagni, 1996). È dunque complesso attribuire paternità precise e datazioni certe, specialmente per quel che riguarda le fonti più [p. 39 modifica]antiche. A complicare le cose, nel 213 p.E.v., nel corso di una campagna di repressione imperiale contro gli intellettuali non allineati, vennero bruciate tutte le opere scritte sino a quel momento, con minacce di pene terribili per chi ne nascondeva qualcuna, e furono seppelliti vivi i più importanti filosofi di scuola confuciana. La connessione tra la diffusione della cultura e la saldezza del potere politico è sempre stata nota ai dirigenti della Cina. Si salvarono dai roghi poche copie clandestine e forme di tradizione mnemonica.

Le fonti salvate e gli accenni in quelle posteriori documentano un certo sviluppo di conoscenze matematiche fin dal XI secolo prima dell’Era Volgare. Il classico filosofico Yì Jìng (易經), meglio noto in Italia con la grafia I Ching, riporta, ad esempio, combinazioni di segni che compongono esagrammi dal significato esoterico rette da regole combinatorie di sapore algebrico La tradizione ascrive questo testo al XXIX secolo p.E.v. ma gli storici propendono per una datazione tra il X ed il III.


3.2.4 Note sui calcoli (算數書 Suàn shùshū)

Questo testo anonimo è il più antico scritto matematico cinese pervenutoci. La datazione è incerta. L’esemplare ritrovato sembra esser stato compilato nel III secolo prima dell’Era Volgare. È scritto con inchiostro su circa 200 aste di bambù legate insieme. Oltre a soggetti matematici tratta di leggi, sentenze ed arti terapeutiche. Vi compaiono 69 problemi esposti da due personaggi. Ogni problema consiste in una domanda, una risposta ed un metodo generale.

Aritmetica elementare, frazioni, proporzionalità inversa, scomposizione di numeri in fattori, progressioni geometriche applicate anche al calcolo di interessi, equivalenze, metodo della falsa posizione applicato alla ricerca di radici di polinomi e l’estrazione di radici quadrate, calcolo di volumi di diversi solidi, relazioni tra le dimensioni di un quadrato e del cerchio inscritto, ricerca dell’altezza di un rettangolo di area e base nota. La costante π è sempre approssimata come π = 3.

Scheda
Il metodo della falsa posizione (Bagni, 1996)

Questo metodo è particolarmente utile per risolvere equazioni che presentano difficoltà di calcolo come ad esempio coefficienti frazionari o potenze. Data l’equazione di primo grado:, si ponga: x = 5. Certamente questo valore non soddisfa l’equazione perché:, ma almeno la frazione è divenuta apparente ed i conti ora sono semplici. La somma ha dato 6 che è un sottomultiplo di 48=6×8. Allora moltiplicando la falsa soluzione 5 per 8 otterremo la soluzione corretta: X = 5×8 . Infatti: . Il metodo è stato conveniente perché ha eliminato la frazione senza comportare divisioni complicate.

Un altro esempio. Nel sistema: si ponga: x = 4 e y = 3. questi valori verificano la seconda equazione ma non la prima: 32+42. Però 25 = 52 e 100 = 102. Tra i due numeri c’è quindi una relazione: . Allora moltiplicando le due false soluzioni scelte prima per 2 si ottiene X=2×4=8 e Y=2×3=6 e che sono effettivamente le soluzioni. Infatti: .

[p. 40 modifica] Questo metodo risolutivo compare in fonti egizie dal XX secolo p.E.v. da cui sono tratti questi esempi ed e stato insegnato anche nelle scuole europee sino al XIX secolo dell’Era volgare.


3.2.5 Il Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng)
Fu probabilmente compilato nel III secolo p.E.v. raccogliendo materiali diversi, i più antichi dei quali risalgono al XII od al XIII (Bagni, 1996). È un’opera in forma di dialogo tra un principe ed il suo ministro a proposito del calendario. Secondo il ministro l’arte dei numeri deriva dal cerchio, oggetto riferito al cielo, e dal quadrato che invece è legato alla terra (Boyer, 1980). Anche quest’opera è organizzata in 246 problemi i quali vengono trattati sia nella fattispecie dei dati offerti, sia evidenziando le operazioni necessarie in senso astratto. Si tratta prevalentemente di calcoli astronomici, con un’introduzione sulle proprietà del triangolo rettangolo e sul calcolo con le frazioni. Vi compare una delle più antiche trattazioni del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo chiamato Regola dell’altezza (商高定理 Shānggāo dìnglǐ) probabilmente riferendosi ad uno dei cateti. La figura qui a lato, tratta da un’edizione tarda, ne mostra un procedimento di dimostrazione.
Figura 1 Illustrazione della Regola dell’altezza (商高定理 Shānggāo dinglǐ) nel Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bi suanjing)

Nel testo si tratta anche della rappresentazione in prospettiva, con metodi geometrici per determinare le dimensioni delle ombre. La matematica che se ne delinea è di origine fondamentalmente geometrica, legata a problemi di agrimensura come in tutte le civiltà potamiche (Egitto, Mesopotamia,…). Ma tale geometria ha un carattere decisamente aritmetico ed algebrico. Algebricamente sono trattati, ad esempio, i problemi sul triangolo rettangolo ed è sempre presente il richiamo a possibilità di generalizzazione e di applicazione a casi diversi da quelli presentati.

Scheda
Il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo nella cultura matematica cinese

La letteratura classica riporta per il triangolo rettangolo il nome 勾股形 (gōugǔxíng), ossia letteralmente “forma con cateto corto e coscia”. La “coscia” (股 ) è il cateto maggiore, mentre per il minore si usa il termine tecnico 勾 (gōu) legato all’idea di segmento o lato. L’ipotenusa è indicata con 弦 (xián), “corda”, usato anche per designare la corda dell’arco o del violino. Il teorema è chiamato anche oggi Regola dell’altezza (商高定理 Shānggāo dìnglǐ) intendendo che uno dei cateti è anche altezza. La prima occorrenza documentata è nel Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng), nelle edizioni più tarde del quale compaiono figure che [p. 41 modifica] suggeriscono un procedimento di dimostrazione che possiamo interpretare con simboli e linguaggio contemporaneo come segue:

  1. il triangolo rettangolo di cateti a e b viene inserito in un quadrato come nella figura seguente, rielaborazione di quella originale; la costruzione, ragionando più “alla greca” che “alla cinese”, si può ottenere con riga e compasso mandando le rette opportune (perpendicolari o parallele) per i vertici; nella figura la quadrettatura serve solo d’aiuto alla lettura e si riferisce ad un caso particolare;
Cinesi scuola e matematica imm10.png
  1. il quadrato esterno ha quindi lato l=a+b ed area ;
  2. i quattro triangoli più esterni (evidenziati in grigio) hanno tutti area , dunque insieme coprono una superficie pari a: ;
  3. il quadrato interno (quello rimasto chiaro che ha i vertici sui lati del quadrato esterno) ha per area la differenza delle due calcolate: ; il suo lato è quindi ;
  4. questa è anche l’ipotenusa del triangolo rettangolo di partenza, che quindi ha lati a, b e .

Nei Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù), un classico più tardo, lo si applica nei seguenti tre problemi:

  1. Se il cateto minore è 3 chǐ (尺, 1 chǐ vale circa 33 cm) e quello maggiore 4 chǐ, quant’è l’ipotenusa? Risposta: 5 chǐ.
  2. Se l’ipotenusa è 5 chǐ e il cateto minore 3 chǐ quant’è il cateto maggiore? Risposta 4 chǐ.
  3. Se il cateto maggiore è 4 chǐ e l’ipotenusa 5 chǐ, quant’è il cateto minore? Risposta: 3 chǐ.

Il testo illustra poi il metodo generale:

“Moltiplica i cateti per loro stessi, sommali e poi estraine la radice quadrata: ecco l’ipotenusa. Ovvero moltiplica il cateto maggiore per se stesso e sottrai il risultato dal prodotto dell’ipotenusa per se stessa; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto minore. Ovvero moltiplica il cateto minore per se stesso; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto maggiore. [p. 42 modifica]

Nel terzo secolo E.v. Liú Huī (刘徽) spiegò che questo metodo funziona perché i due quadrati costruiti sui cateti possono essere traslati, scomposti e ricomposti in modo da costituire un triangolo eguale a quello costruito sull’ipotenusa. Nella sua trattazione l’autore usa toni assai poetici e riferimenti filosofici, richiamando un concetto di equilibrio stabile che con tali eguaglianze sarebbe rispettato. Ecco qui un esempio di meta-regola (Spagnolo, D’Eredità, 2009), (Spagnolo, Ajello, 2008), ossia di schema di ragionamento stabile che funge da principio di validità generale e giustificazione di procedimenti in diversi ambiti. La chiarezza dell’algoritmo seguito e la possibilità di ricondurlo a questi principi sono, in questa impostazione, una strategia di giustificazione teorica. Algoritmi affidabili assumono in questa visione della matematica il ruolo cardinale dei postulati nell’impostazione euclidea. Liú Huī si riferiva inoltre a schemi e figure che non ci sono arrivate che dovevano illustrare i metodi per scomporre e ricomporre i quadrati. La geometria cinese, in special modo quella dell’epoca di Liú Huī, preferisce i confronti tra aree, i procedimenti di scomposizione e le traslazioni laddove il filone euclideo predilige le costruzioni con riga e compasso ed il riconoscimento di congruenze tra figure.


3.2.6 La Scuola Moista (墨家 Mòjiā)

Quella dei seguaci di del Maestro (墨子 Mòzǐ, latinizzato in Micius, 470 – 391 p.E.v.) fu una delle scuole di pensiero più importanti delle Epoca degli Stati Combattenti (dall’VIII al III secolo p.E.v.), dopo di che fu soppressa con l’unificazione della Cina da parte dei Qín (秦朝, quelli che fecero sparire libri e filosofi) che temevano la sua forza come organizzazione politica e movimento d’opinione. Essa era radicata in tutti i maggiori regni in cui era frazionata la Cina in quel periodo ed aveva un’ampia diffusione sociale.

Il suo credo fondamentale era quello dell’amore universale e dell’eguaglianza tra gli uomini, contrapposto al senso di appartenenza clanica ed al bellicismo dei signorotti di quei tempi. Vi aveva un ruolo importante anche una visione epistemologica fondamentalmente empirista per cui le percezioni avevano maggior valore delle astrazioni e delle costruzioni logiche. Una conseguenza in campo morale era il rifiuto della tradizione come guida della condotta personale, che doveva essere ricercata in una riflessione di tipo utilitaristico ma non egoistico simile all’analisi costi – benefici e tesa al benessere generale. Ad esempio lo Stato andava rispettato perché è uno strumento utile, in quanto la vita aggregata ed organizzata è migliore di quella selvaggia retta dalla guerra tra individui e tra gruppi.

Le convinzioni moiste furono tramandate nel canone filosofico Mò Jìng (墨经) redatto intorno al 330 p.E.v. dai seguaci del maestro in cui si parla, oltre che delle istanze fondamentali della sua filosofia, di arte del governo, tecniche agricole, leggi e di molte altre cose.

La geometria e la fisica moista si basavano sulla definizione di punto come pallino microscopico indivisibile (un po’ come per i Pitagorici o gli Atomisti greci) per cui un segmento sarebbe una specie di collanina di punti. Nelle fonti vengono enunciate proposizioni simili a quelle euclidee sui segmenti e sulle rette, in particolare sulle lunghezze di segmenti e sul parallelismo, sullo spazio e sui piani paralleli o meno. Nel Canone ci sono definizioni di geometria piana (circonferenza, diametro, raggio) e solida e diverse proposizioni di ottica e meccanica. Si dice tra l’altro che il moto cessa se c’è opposizione tra forze, altrimenti continua sempre.

Secondo i Moisti un’opinione era corretta se basata sull’analisi storica, sull’esperienza comune, sull’utilità politica o legale. Si sa che essi avevano sviluppato una forma di logica, probabilmente assai diversa da quella aristotelica, per risolvere problemi linguistici e di interpretazione. Dopo un primo [p. 43 modifica]florido sviluppo i loro risultati non vennero apprezzati dalla ricerca successiva ed andarono perlopiù perduti.

3.2.7 La Scuola Logica dei Nomi (名家 Míngjiā)

Scaturita forse dal movimento moista, presenta diverse affinità con il Sofismo greco. I suoi interessi principali sono quelli dei paradossi logici, dei rapporti tra linguaggio e pensiero e delle relazioni tra simbolo e significato (appunto i “nomi”), in un percorso che la portò all’analisi della possibilità di affermare e negare qualsiasi cosa (Fontana, 2006). Come i Sofisti greci, anche i membri di questa scuola coltivarono la retorica e l’attività forense, anche se le fonti insistono più sulle produzioni di tipo prettamente scientifico.

Nonostante il buon livello delle sue elaborazioni ed un iniziale successo, rappresenta un filone di studi che fu successivamente poco frequentato dagli studiosi cinesi. Nella Cina storica non si sviluppò mai un interesse teorico che portasse all’elaborazione di una teoria logica sistematica paragonabile a quelle di origine greca od europea medievale (Fontana, 2006).

I maggiori esponenti di questa scuola sono il Maestro Huì (惠子 Huìzǐ detto anche Hui Shi 惠施) e Gōngsūn Lóng (公孙龙, 325 – 250 p.E.v.). Entrambi nacquero alla fine del IV secolo. Il primo, uomo politico, legislatore, retore e scienziato, scrisse dieci paradossi sullo spazio e sul tempo che ci sono arrivati solo per via indiretta. Alcuni di essi hanno una specifica attinenza matematica riguardando l’infinità e l’illimitatezza di oggetti di pensiero, altri si riferiscono più propriamente ai rapporti tra nomi ed oggetti designati od alle relazioni tra linguaggio e metalinguaggio. Lo spazio ed il tempo, concepiti come infiniti ed illimitati, pare rivestissero un’importanza fondamentale nel pensiero di Huìzǐ che con i suoi paradossi avrebbe tentato di demolire la possibilità di misura quantitativa e distinzione spaziale. Illusorie erano, per lui, anche le distinzioni di tempo e le differenze tra oggetti individuali, che sfumano in un’unità atemporale del tutto. L’assonanza con i metodi ed i concetti degli Eleati Parmenide e Zenone è stupefacente.

Del secondo esponente, un po’ più giovane del precedente, rimangono solo poche opere raccolte nel libro Il maestro Gōngsūn Lóng (公孫龍子 Gōngsūn Lóngzǐ ) nel quale ci sono altri paradossi. Il più noto fa parte del Báimǎ Lùn (白馬論 Dialogo del cavallo bianco) e recita: “Un cavallo bianco non è un cavallo.” Esso si basa sulle ambiguità della lingua cinese, che non presenta le variazioni e le concordanze tra i termini obbligatorie nelle lingue indoeuropee e sulla difficoltà di attribuire in modo semanticamente preciso il predicato “non essere” (非). Forse il sofista fa ricorso implicitamente ad un metalinguaggio sostenendo correttamente, in termini moderni, che l’insieme dei cavalli bianchi non coincide con l’insieme dei cavalli (“un cavallo bianco non è la stessa cosa che un cavallo”), mentre apparentemente la questione è sulla natura degli elementi di tali insiemi, come suggerirebbe l’enunciato originario. Un altro paradosso sembra anticiparne alcuni che verranno scoperti in Europa solo alla fine del XIX secolo durante la costruzione della Teoria degli insiemi: “Quando non si trova altro che ciò che si è indicato, allora non si è indicato nulla. Infatti si è indicato qualcosa che non è nel mondo, ma il mondo ha in sé tutte le cose. È inammissibile che ciò che il mondo ha in sé sia considerato come ciò che non ha in sé.”1 [p. 44 modifica]L’abbandono successivo degli studi logici ha forse origine nelle citate caratteristiche della lingua cinese che, oltre a non avere flessioni o concordanze non distingue tra sostantivi, aggettivi, verbi e le altre diverse parti logiche della frase2.

Scheda
Alcuni paradossi di Huizǐ (惠子)

(Fontana, 2006)

I) “Il massimo non ha nulla oltre se stesso ed è chiamato Il Grande; il minimo non ha nulla entro se stesso ed è chiamato Il Piccolo” (Kia-hwai, 1992).

Questo non ha la forma di un paradosso ma sembra piuttosto una comune proposizione. L’effetto paradossale si ha se si considera che massimo e minimo sono nomi, concetti astratti che non possono essere riferiti a nulla di concreto, perché ogni cosa è solo relativamente grande o piccola. La difficoltà linguistica inestricabile è qui nella semantica: “tutti gli esseri del mondo sono egualmente grandi se si mette in evidenza la loro grandezza, od egualmente piccoli se si mette in evidenza la loro piccolezza. (…) Chi capisce che il cielo e la terra sono eguali ad un granello di miglio e che la punta di un pelo è eguale ad una collina o ad una montagna, ebbene costui capirà il modo di calcolare le differenze” (Kiahwai,1992).


II) “Ciò che non ha spessore non può essere accumulato, eppure è così grande che può coprire mille miglia.”

Ad esempio un piano non ha spessore, e illimitato ed infinito, ma non è solido e dunque non può essere “accumulato” (Fontana, 2006).


III) “Il cielo e basso quanto la terra; le montagne sono alle stesso livello delle paludi.”

Alto e basso sono infatti concetti relativi. Un’altra interpretazione pone la relatività sul legame tra cose e nomi: “cielo” potrebbe anche essere attribuito alla terra e viceversa.


IV) “Il Sud non ha limite, eppure è limitato.”

Limitato ed illimitato sono concetti relativi: considerato in senso assoluto un punto cardinale non ha limite, ma in rapporto agli altri punti cardinali sì.


V) “Parto oggi per lo stato di Yue (越) e vi arrivai ieri.”

Nel caso che il soggetto sia giunto da Yue per dove era passato ieri e si accinga a tornarvi non c’è alcun paradosso. Escludendo questa possibilità rimane solo da pensare alla relatività dei riferimenti temporali: quel giorno che oggi chiamiamo”oggi” domani lo chiameremo “ieri”, quello che chiamiamo “domani” lo chiameremo “oggi”, e via discorrendo...

[p. 45 modifica] VI) “Nonostante la sua velocità, in certi momenti una freccia in volo non si sposta ed in altri non è ferma.”

Il movimento è relativo non solo rispetto al punto di vista dell’osservatore ma anche alla lunghezza degli intervalli spaziali e temporali che questi prende in considerazione: istante per istante la freccia è ferma.

VII) “Accorciando ogni giorno della metà un bastone lungo un piede, esso non si esaurirà in diecimila generazioni.”


Il bastone non si esaurirà mai per la continuità della materia. Il numero diecimila è spesso usato nella prosa antica per indicare un numero assai alto, esattamente come per la miriade nella tradizione greca. Anche nel sistema di numerazione più diffuso in Cina il puntino per facilitare la lettura dei numeri grandi, che noi mettiamo ogni tre ordini, si mette ogni quattro (si scrive 1.0000 mentre noi scriviamo 10.000).

Figura 2 Prima pagina dei Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù)

Anonimo compilato probabilmente all’inizio del I secolo p.E.v. raccoglie materiali di diverse generazioni di studiosi dal X al II secolo. Contiene 246 problemi di agrimensura, agricoltura, economia, ingegneria, tassazione, calcolo algebrico, risoluzione di equazioni e proprietà dei triangoli rettangoli (Boyer, 1980). In particolare si esaminano, nell’ordine, problemi su aree di campi rettangolari e di varie forme; calcolo con frazioni; equivalenze tra beni economici di diversa natura (cereali) per il commercio; regole di attribuzione di prezzi; distribuzioni e suddivisioni proporzionali di beni e di monete; ricerca di profondità; divisioni di tipo generale; estrazioni di radici quadrate e cubiche; dimensioni, aree e volumi di cerchio e sfera; problemi legati alle professioni; volumi di solidi; tassazioni; proporzioni; problemi lineari risolti con il metodo della falsa posizione, problemi con diverse incognite risolte con un metodo simile all’Eliminazione Gaussiana; problemi sul triangolo rettangolo risolti col Teorema di Pitagora.

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La forma è quella della lista di problemi specifici

seguiti dalle rispettive soluzioni e dalle spiegazioni generali. Vi compare una trattazione del Teorema di Pitagora. Si usano regole corrette per il calcolo delle aree di triangoli, rettangoli e trapezi (Boyer, 1980). L’area del cerchio e invece calcolata come con d diametro, ovvero come con C circonferenza: queste regole sono esatte se si approssima π = 3. L’approssimazione di questa costante irrazionale miglioro sensibilmente nel giro di sette secoli. Per l’area del segmento di cerchio si propone la formula [p. 46 modifica]grossolana con s sagitta (differenza tra raggio ed apotema) e c corda base del segmento. Per quel che riguarda i contenuti ed i procedimenti algebrici si nota un largo uso delle regola del tre.

Scheda
La regola del tre

Questo è il nome tradizionale in Europa di un teorema algebrico che asserisce che dati tre numeri interi a, b, c, con b ≠ 0 l’equazione: nell’incognita x può essere risolta nell’insieme dei numeri razionali come .

Nel linguaggio delle proporzioni, molto apprezzato nella scuola secondaria di primo grado (già media inferiore) italiana, l’equazione iniziale può essere scritta come: a: b = c: x nella quale a ed x sono detti estremi mentre b e c sono detti medi. La regola del tre può essere derivata da un altro teorema (regola aurea) che dice che in tale situazione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Questo procedimento risolutivo compare nella letteratura indiana vedica del VI secolo p.E.v. ma è attestato in quella cinese solo dal II. Comparve in Europa solo molto più tardi, agli albori del Rinascimento. Trova grandi applicazioni in campo fisico ed economico.


Nell’ottavo capitolo si risolvono sistemi di equazioni lineari facendo uso di numeri positivi e negativi. Uno presenta quattro equazioni a cinque incognite ed è dunque indeterminato. Il sistema lineare viene presentato in una forma di matrice dei coefficienti rigirata simile ad un quadrato magico, su cui poi si opera in colonna con le operazioni del procedimento di Eliminazione Gaussiana che comparirà in Europa solo alla fine del XVIII secolo dell’era volgare:

1 2 3
2 3 2
3 3 1
1 26 34
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39

da cui si procede ponendo in forma moderna: da cui . [p. 47 modifica]In tutta l’opera si tende a rappresentare i numeri mediante potenze di dieci o frazioni decimali: ad esempio per facilitare l’estrazione di radici quadrate e cubiche si ricorre ai passaggi: e per semplificare i calcoli.

Questo libro ebbe influenza enorme sullo sviluppo della matematica in Cina, Corea e Giappone, definendo la forma dei trattati scientifici sin quasi al XIX secolo in quelle aree. Ad esso e inoltre legato il primo esempio di critica epistemologica nella cultura cinese: nel 263 il matematico Liú Huī (刘徽) ne scrisse un commento in cui forni soluzioni nuove ai problemi proposti, analizzò le procedure spiegandole e dandone giustificazioni logiche.

Scheda
Due problemi dai Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suanshu)

(Boyer, 1980)
Enunciati e soluzioni in forma moderna.

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I) Quanto è profonda una pozza d’acqua di 10 ’m2 nel cui centro cresce una canna di bambù che emerge per 30 cm e che tirata verso il bordo arriva appena alla superficie?

Soluzione: si evidenzia un triangolo rettangolo come in figura, in cui l’ipotenusa a ha la lunghezza della canna, un cateto b e il raggio dello specchio della pozza, che supponiamo circolare, ed il secondo cateto c, pure ignoto, che rappresenta la profondità cercata e che soddisfa la relazione: a – c = 30 cm. Ciò significa che a = c + 30 cm. Troviamo il cateto b: sappiamo che l’area della pozza e A = di 10 m2, per la formula dell’area del cerchio e: A = 2 π b2, quindi: che approssimeremo solo alla fine per non propagare troppi errori. Adesso e il caso di fare l’equivalenza per averlo in centimetri come la differenza tra gli altri due lati: . Il teorema di Pitagora dice che: che, sostituendo con ciò che sappiamo, diviene: , cioè: . Da questa, eliminando i monomi uguali in membri opposti: , e poi con qualche calcolo:

. Questo risultato si ottiene approssimando π ≈ 3,14 e non sarebbe stato accettato dagli autori dei _ove capitoli che approssimavano piuttosto π ≈ 3. È inoltre ragionevole pensare che avrebbero trovato da ridire anche su altri punti del procedimento qui esposto.

Se invece supponiamo la pozza quadrata il cateto b sarà semplicemente metà del lato l, cioè: l2 = 10m, quindi: e dunque: . Il resto è tutto analogo, ma con conti più semplici: a2 = b2 + c2 diviene: , cioè: e quindi: [p. 48 modifica]

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II)A che altezza si è spezzata una canna di bambù alta 3 m la cui cima tocca ora il terreno ad 1 m di distanza dalla radice? Soluzione: conosciamo un cateto c =1 m e la somma dell’ipotenusa a e di un cateto b: a + b = 3 m, quindi sappiamo che a = 3 – b. Per il teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2 da cui: (3 – b)2 = b2 + 12. Con qualche calcolo: 9 – 6b + b2 = b2 + 1 . Elidendo i monomi uguali in membri opposti: 9 – 6b + = 1, da cui: – 6b + = 8 ed infine: . Questa è la misura del lato rimasto in piedi, ossia l’altezza richiesta a cui la canna si è spezzata.
3.2.9 Liú Xīn (刘歆)

Detto anche Liú Xiù (劉秀), visse a cavallo del volgere dell’Era Volgare (46 p.E.v. – 23E. v.) e fu un intellettuale poliedrico dagli interessi vastissimi. Fu filosofo e studioso teorico del Confucianesimo. Come astronomo creò un suo sistema astronomico e calendariale basato su mesi lunari che contava in un anno 365 giorni, 6 ore e poco più di 13 secondi che raggruppava gli anni in cicli di 19. Inoltre catalogò più di un migliaio di stelle suddivise in sei grandezze e calcolò i periodi di alcuni pianeti. In matematica stimò π ≈ 3,154. Scrisse un’opera in cui definì alcune misure di lunghezza, superficie e volume indicandone multipli e sottomultipli con l’intento di uniformare l’uso metrico di tutta la Cina. In essa comparivano schemi e figure atti a facilitare la memorizzazione delle unità di misura.

3.2.10 Zhāng Héng (张衡)

Visse nel I secolo (78 – 139) e fu prevalentemente un astronomo, ma si occupò di quasi tutte le attività intellettuali possibili come uomo di scienza, ingegnere, idraulico, inventore, geologo, cartografo, geografo, etnografo, funzionario dell’amministrazione civile, ministro, filosofo, letterato e poeta. Sostanzialmente pare che non ci sia campo della ricerca o dell’applicazione che non sia stato in qualche modo frequentato da questo autore, in qualche caso con risultati importantissimi. Da astronomo catalogò 14.000 corpi celesti in un elenco e studiò molti di essi, specialmente la luna ed il sole, la loro luce (che distinse in propria e riflessa) e le eclissi. Riconobbe molte costellazioni. Costruì una sfera armillare, cioé un modello tridimensionale della disposizione delle stelle in cielo basato su anelli (le armillae) fissati in modo da poter ruotare su vari assi e far scorrere i punti incastonati rappresentanti i diversi oggetti celesti. Non fu il primo a farlo, ma la sua era mossa meccanicamente dalla forza dell’acqua e poteva rendere conto dinamicamente delle sue osservazioni astronomiche sulle posizioni relative dei corpi celesti e del loro moto. Nella Costituzione spirituale dell’universo (靈憲, Líng xiàn, 120) espose una teoria geocentrica assai simile a quella tolemaica, con un universo ellissoidale praticamente vuoto con la terra al centro e le stelle aderenti alla parte interna della superficie di delimitazione o ad altre sfere. Realizzò anche un orologio ad acqua ed un sismografo, il primo al mondo, che rilevò un terremoto a quasi 500 Km di distanza. Fu grande poeta e rapsodo e si servì di diversi stili e metriche. Le sue liriche ed i suoi lavori filosofici lo hanno reso uno dei riferimenti culturali tradizionali per il pensiero cinese. Si occupò anche del calendario e di problemi matematici. In base alle sue osservazioni astronomiche calcolò dapprima π ≈ 3,1724. Il suo ragionamento si basava sulla credenza diffusa in quell’epoca che il [p. 49 modifica]rapporto tra le aree di un quadrato e del cerchio inscritto fosse 4/3, mentre quello tra il volume di un cubo e quello della sfera inscritta fosse 42/32. Ulteriori riflessioni su aree e volumi lo indussero a legare π alla radice quadrata di 10, che calcolò come: .

3.2.11 Liú Huī (刘徽)

Visse nel tormentato III secolo e ricoprì numerosi incarichi pubblici di ambito scientifico e civile. Si occupò di astronomia e nel 263 scrisse il citato commento ai Nove capitoli dell’arte matematica, in cui espose un algoritmo per la stima di π che sfruttava la misura di poligoni regolari inscritti in un cerchio e che ricorda analoghe costruzioni di Archimede. Arrivando ad un poligono di 192 lati calcolò:

3,141024 < π < 3,142074

inaugurando una grande tradizione di tentativi con metodi analoghi. Concluse che per gli usi pratici ci si poteva accontentare di due decimali e stabilì che: . In seguito elaborò un altro metodo utile anche per le estrazioni di radici e, calcolando il perimetro di un poligono inscritto di 3.072 lati, calcolò . Figura 3. Illustrazione di un metodo del Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng) per determinare un'altezza inaccessibile. I suoi commenti motivano teoricamente i procedimenti usati nel testo. Alcune soluzioni da lui proposte suscitarono a loro volta critiche da parte di matematici successivi. In quest’opera enunciò un teorema analogo al Teorema di Pitagora corredandolo di figure. Nell’enunciato fa riferimento alle relazioni tra l’ipotenusa e a somma e differenza dei cateti. Si serve inoltre di una proposizione analoga al Principio di Cavalieri per il calcolo del volume di un cilindro. In geometria solida ebbe notevoli intuizioni sulla scomposizione di solidi regolari o meno in altri regolari. Un’altra sua opera molto importante è il Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng) forse seguito ideale dei Nove capitoli. Si tratta di una raccolta di problemi di argomento geometrico. Il titolo è tratto dal primo problema che riguarda un’isola vista dal mare, tema che nel libro ricorre spesso. Esso contiene metodi pratici per la misura di distanze ed altezze (l’altezza di un‘isola rispetto al livello del mare vista dal largo, l’altezza di un pino su di una collina, la larghezza delle mura di una città vista da lontano, l’altezza di una costruzione in piano vista da un punto rialzato, la profondità di una piscina trasparente,…) grazie a riferimenti composti da aste disposte in modo da formare angoli retti con linee d’osservazione intuitive. Questi procedimenti erano in parte noti ai cartografi ed agli ingegneri contemporanei, ma questa raccolta ne costituì un notevole avanzamento. Una delle novità [p. 50 modifica]introdotte è quella di una griglia rettangolare graduata per riprodurre le distanze in scala sulle mappe. Liú Huī si interessò anche di problemi ingegneristici ed idraulici. Espresse tutti i suoi risultati in forma di frazioni decimali, sempre completi di unità di misura. Un suo commentatore ne calcolò i valori decimali nel XIII secolo.

Scheda
Problema dal Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng)

Enunciato e soluzione in forma moderna

Guardando un’isola nel mare, pianta due pali della stessa altezza, 3 piedi (掌 zhăng), distanti tra loro 1.000 passi (步 ) in modo che siano allineati con l’isola. Spostati di 123 passi dal palo più vicino all’isola lungo la retta che congiunge i piedi dei due pali e guarda il punto più elevato dell’isola: la punta del palo coincide con quel punto. Spostandoti indietro di 127 passi dal palo più lontano dall’isola osserva che il suo punto più elevato coincide con la punta di questo palo. Qual è allora l’altezza dell’isola e quanto dista dal palo più vicino?

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Soluzione: la situazione può essere riassunta nel disegno qui a lato, che ricorda un’illustrazione del testo originale. I triangoli ABE ed HCE sono simili e così pure i triangoli ABF e GDF. Triangoli simili hanno eguali rapporti tra lati corrispondenti, dunque: e da cui la coppia di eguaglianze: e . Esse hanno un membro uguale e dunque si possono confrontare: . Ricordando che i due pali hanno la stessa altezza (HC = GD) si ha: . Osservando il disegno o ricordando la costruzione sappiamo che: BE = BD + CE e, BF = BC + CD + DF, da cui: in cui si è fatto sparire un 1 in ambo i membri; da ciò, con qualche passaggio: . Ora a secondo membro compaiono solo lunghezze note. Per fare i calcoli si osservi che 1 zhăng = 10 chǐ (尺 pari a circa 33 cm) e 1 = 6 chǐ, quindi 1 zhăng =3/5 : sarà più comodo mettere tutte le misure note in chǐ: HC = GD = 30 chǐ, CD = 6.000 chǐ, CE =738 chǐ, DF = 762 chǐ. La distanza tra il primo palo e l’isola è chǐ = 102 [p. 51 modifica]

150 . Per calcolare l’altezza dell’isola possiamo usare la relazione 7.530 chǐ = 4 55 .

Si noti che benché si trattasse di triangoli rettangoli non si è fatto uso del Teorema di Pitagora. Inoltre, dato che i triangoli simili non avevano in Cina la popolarità che avevano in Grecia, il procedimento originale usato da Liú Huī si basa su considerazioni sulle aree dei triangoli citati da cui si ricavano eguaglianze e calcoli equivalenti a quelli esposti. Questo autore usa frequentemente eguaglianze tra aree dove noi useremmo piuttosto rapporti, proporzioni od altre relazioni più astratte tra grandezze lineari. Figura 4: Prima pagina del Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suànjìng


3.2.12 Sunzǐ (孙子)

Vissuto probabilmente nel l’secolo, fu astronomo e matematico. Studiò una riforma del calendario e si occupò di equazioni diofantine. L’unica sua opera conosciuta è il Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suànjìng) nel quale compare quello che in tutti i manuali universitari di algebra è oggi chiamato Teorema cinese del resto. Esso fu poi ripreso nel XIII secolo da altri matematici cinesi. L’opera consiste di tre capitoli di cui il primo si occupa di sistemi di misura, di algoritmi di calcolo con le bacchette sulla tavola da calcolo per moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici quadrate e di metodi per il calcolo di potenze di dieci; gli altri due capitoli raccolgono problemi su frazioni, aree e volumi. Le soluzioni dei problemi sono sempre seguiti da metodi generali.

Scheda
Enunciato del Teorema cinese del resto

(in forma moderna)

Ipotesi: Siano n1, n2,…, nk degli interi positivi tali che ciascuno sia coprimo con ciascuno degli altri (cioè non abbia divisori non banali comuni) e siano a1, a2,…, ak altrettanti interi scelti arbitrariamente allora

Tesi I:, esiste un intero x tale che: in cui la scrittura: si legge x è congruente modulo ni ad ai e significa che la differenza tra x ed ai è divisibile per ni (formalmente: esiste un intero qi tale che per tutti gli indici i da 1 a k).

Tesi II: due interi b e c che soddisfano quanto affermato per x nella I tesi sono congruenti tra loro modulo (in formule:). [p. 52 modifica] Tesi III: due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli ni sono congruenti tra loro anche modulo . Se gli interi non sono coprimi a due a due il teorema vale con un’ipotesi in più:

Ipotesi: Siano n1, n2,…, nk degli interi positivi, di massimo comun divisore D e minimo comune multiplo M e a1, a2,…, ak altrettanti interi tali che ciascuno di loro sia congruente con tutti gli altri modulo D (cioè

allora

Tesi I': esiste un intero x tale che:

.

Tesi II': due interi b e c che soddisfano quanto affermato per x nella I Tesi sono congruenti tra loro modulo M (in formule: ).

Tesi III': due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli ni sono congruenti tra loro anche modulo M .

Il teorema si può estendere agli ideali principali in anelli commutativi ed è usato nel calcolo di numeri primi molto grandi che a loro volta trovano notevoli applicazioni tecnologiche in crittografia.


Scheda
Due problemi del Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suanjing)

I) Oltre il cancello di una città vedi 9 aiuole, in ogni aiuola 9 alberi, in ogni albero 9 rami, in ogni ramo 9 nidi, in ogni nido 9 uccelli ed ogni uccello ha 9 pulcini, ogni pulcino 9 piume ed ogni piuma 9 colori. Quanti esemplari di ogni cosa vedi?

Soluzione: dati i numeri alti che si raggiungono presto non e conveniente tracciare un diagramma ad albero. Per ogni tipo di oggetto occorre di moltiplicare per 9 gli oggetti del tipo precedente.

       1 aiuole 9
       2 alberi 81
       3 rami 729
       4 nidi 6.561
       5 uccelli 59.049
       6 pulcini 531.441
       7 piume 4.782.969
       8 colori 43.046.721

Se si fosse interessati solo ad un genere e non si volessero calcolare tutti i precedenti basta elevare 9 al numero d’ordine del genere in questione nella tabella precedente: ni = 9i Problemi analoghi compaiono nella tradizione europea nel X secolo. [p. 53 modifica] II) Abbiamo alcuni oggetti ma non sappiamo quanti. Sappiamo però che:

  • se li dividiamo a tre a tre ne restano fuori 2;
  • se li dividiamo a cinque a cinque ne restano fuori 3;
  • se li dividiamo a sette a sette ne restano fuori 2.

Soluzione proposta da Sunzǐ: moltiplica il primo resto per 70: 2 × 70 = 7140; aggiungi al risultato il secondo resto moltiplicato per 21: 140 + 3 × 21 = 140 + 63 = 203; aggiungi al risultato il terzo resto moltiplicato per 15: 203 + 2 × 15 = 203 + 30 = 233; se il risultato è maggiore di 105, sottrai da esso i multipli di questo numero tante volte quante potrai: 233 - 105 = 28; 128 - 105 = 23 che e il numero che cercavamo. In termini moderni il problema puo essere interpretato come la ricerca del numero intero x che soddisfi il seguente sistema di congruenze:

Dato che 3, 5 e 7 sono a due a due coprimi il Teorema cinese del resto assicura l’esistenza di un numero intero x che sia soluzione. Per trovarlo si sfruttano altri teoremi relativi alle combinazioni lineari di interi congruenti. 2 × r1×m2×m3+r2×m3×m1+r3×m1×m2 = 105 × 2 + 23. 23 è effettivamente soluzione perché 23 - 2 = 21 = 3×7, 23 - 3 = 20 = 5 × 4, 23 - 2 = 21 = 7 ×3.


3.2.13 Zhāng Qiūjian (建张邱|张邱建)

Visse nel l’secolo e scrisse il Manuale matematico di Zhāng Qiūjian (算经张邱建 Zhāng Qiūjian suànjīng), testo in 92 problemi in cui compaiono notazioni decimali per numeri interi sia positivi, sia negativi che sfruttano le potenze di dieci. Spesso dopo il procedimento risolutivo l’autore ha inserito spiegazioni generali. Ci sono problemi che richiedono l’estrazione di radici quadrate e cubiche, la risoluzione di equazioni quadratiche, sistemi di equazioni lineari (risolti con metodi assai vicini a quello di Gauss) e si illustra anche una formula per la somma di progressioni aritmetiche. Anche diverse formule geometriche per aree e volumi sono spesso utilizzate.

Una gran parte del testo riguarda le tecniche di calcolo con le frazioni, che nella prefazione sono indicate come argomento misterioso. Per questo vi insiste molto proponendo espressioni frazionarie talora lunghe in cui si possono applicare tutte le regole algebriche, sino alla divisione come prodotto per la frazione inversa. Molto spazio è dedicato alla riduzione ad un unico denominatore.

Scheda

Problemi dal Manuale matematico di Zhāng Qiūjian (算经张邱建 Zhāng Qiūjian suànjīng)
(enunciati e soluzioni in forma moderna)

I) Il Problema dei Cento polli: se un gallo è in vendita per cinque monete, una gallina per tre monete e tre pulcini insieme per una moneta, quanti galli, galline e pulcini posso comprare con cento monete se voglio in tutto cento animali?

Soluzione: sia A il numero dei galli, B quello delle galline e C quello dei pulcini. Si puo impostare il problema come un sistema di due equazioni in tre incognite, una per il numero degli animali e l’altra [p. 54 modifica] per i relativi costi. La prima equazione e semplicemente: . Per determinare la seconda occorre tenere conto del fatto che i pulcini sono venduti a multipli di 3: moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione precedente per 3: e poi sostituiamo alle lettere nel primo membro l’equivalente in monete: , , . La seconda equazione e dunque: , cioè: . Il sistema è quindi:

da cui con qualche passaggio: ; adesso per tentativi speriamo di trovare un B che, eseguite le operazioni indicate a secondo membro nella seconda equazione, dia un risultato intero. La ricerca da in breve buon esito:
no; no; no; si, eccolo.

Insomma: , , . Nota: Il testo originale riporta, oltre a quelle data, tutte le altre possibili soluzioni (, , ; , , ; e , , ) tranne quella che prevede 0 galli, 25 galline e 75 pulcini. Probabilmente Zhāng non ritenne ammissibile uno zero come risposta ad una domanda che cominciava con “quanti”. II) La strada circolare: una strada che circonda una collina e lunga 325 lĭ (里). Tre corridori partono insieme e la percorrono diverse volte nello stesso senso. Se la velocità del primo e di 150 lĭ al giorno, quella del secondo 120 lĭ al giorno e quella del terzo 90 lĭ al giorno dopo quanti giorni si rincontreranno. Soluzione: il massimo comun divisore delle tre velocita e 30; dividendo la lunghezza della strada per questo numero si ottiene il periodo in giorni dopo il quale i tre corridori si rincontrano: cioè 10 giorni e 20 ore. III) Tizio, Caio e Sempronio hanno ciascuno una somma di denaro in monete. Tizio dice: <<Se prendessi 23 delle monete di Caio ed 13 di quelle di Sempronio avrei 100 monete>>. Caio dice: <<Se prendessi 23 delle monete di Tizio e ½ di quelle di Sempronio avrei 100 monete>>. Sempronio dice: <<Se prendessi 23 delle monete di Tizio e 23 delle monete di Caio avrei 100 monete>>. Quante monete ha ciascuno di loro? Soluzione: si imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite ponendo che le monete di Tizio siano t, quelle di Caio c e quelle di Sempronio s: [p. 55 modifica]

IV) Il cavallo che rallenta: un cavallo ha percorso 700 miglia in 7 giorni, tenendo ogni giorno una velocita che era la meta di quella del giorno precedente. Quante miglia avra percorso in ognuno dei diversi giorni? Soluzione: chiamiamo le lunghezze dei tratti percorsi ogni giorno rispettivamente. Dimezzando le velocita il cavallo ha dimezzato anche le distanze via via coperte quindi: , , ...,. Questo significa che ognuna di queste lunghezze si puo scrivere in relazione alla prima: , , , , ..., . Dato che in tutto ha percorso 700 miglia: . Possiamo dunque impostare l’equazione:
da cui raccogliendo a1 si ottiene: , , , , , ,

Nota: l’ultima coppia di parentesi racchiude i primi sette termini della serie geometrica .


3.2.14 Zǔ Chōngzhī (祖冲之)

Visse nel l’secolo (429 – 500) provenendo da una famiglia altolocata ed impegnata negli studi astronomici e matematici per più generazioni. Fu matematico, astronomo e funzionario. Pubblicò calendari accuratissimi in cui profuse calcoli complessi e distinzioni astronomiche assai sottili. Pare che fosse in grado di calcolare tutte le aree ed i volumi topici e di estrarre radici quadrate e cubiche. Fonti riferiscono anche della sua grande confidenza col Principio di Cavalieri e di metodi di interpolazione utili per ottenere risultati astronomici senza disporre di una teoria del calcolo differenziale ed integrale. Purtroppo tutto ciò trova solo conferme indirette essendo andata perduta la maggior parte della sua produzione scritta.

Zǔ si occupò della stima di π. Nella sua epoca il problema si poneva come ricerca di due numeri razionali detti mì lǜ (密率, approssimazione precisa) e yue lǜ (約率, approssimazione grossolana) rispettivamente uno minore ed uno maggiore tra cui racchiuderlo. I valori che circolavano erano: [p. 56 modifica] e . Zǔ si servi del metodo dei poligoni inscritti in un cerchio di Liú Huī e calcolando il perimetro di un poligono di 12.288 lati ottenne con grande precisione (Bagni, 1996):

cosa stupefacente se si pensa che le sue uniche macchine da calcolo erano le bacchette d’avorio.

3.2.15 Zǔ Gèng (祖暅)

Figlio di Zǔ Chōngzhī, condivise con lui il V secolo e parte del suo lavoro astronomico e matematico. Diede una sistemazione teorica adeguata ad un principio che i matematici cinesi usavano già da secoli in modo non logicamente ben fondato e che in seguito prese il suo nome. Esso stabilisce che due solidi di uguale altezza che abbiano congruenti tutte le sezioni piane staccate alla stessa altezza hanno volumi congruenti. Si tratta del Principio di Cavalieri enunciato con un migliaio di anni di anticipo, e che dunque si dovrebbe ribattezzare Principio di Zǔ Gèng – Cavalieri.

3.2.16 Wáng Xiàotōng (王孝通)

Considerato uno degli iniziatori della fase aurea dell’algebra cinese, visse tra il 580 ed il 640. Si dedicò alla ricerca in matematica ed in astronomia ed anche al loro insegnamento. La sua opera principale è la Continuazione della Matematica antica (算经古继 Suànjìng gǔjì) una raccolta di 20 problemi quasi tutti di natura ingegneristica. In essi si occupò, per primo nella cultura cinese, di equazioni di terzo grado grazie ad un algoritmo per l’estrazione di radice cubica cui era arrivato rielaborando dei procedimenti più antichi per le radici quadrate. Benché le soluzioni siano di natura numerica il linguaggio in cui le esprime è sempre riferito ad oggetti geometrici, in particolare lati di cubi, altezze di parallelepipedi o profondità di vasche e canali di forma regolare. I testi dei problemi sono assai complessi ed il linguaggio e molto suggestivo. Ci sono anche problemi sul triangolo rettangolo. Il testo ebbe notevole fortuna ed ottenne grandi riconoscimenti istituzionali.

Scheda
Problemi dalla Continuazione della Matematica antica (算经古继 Suànjìng gǔjì)

(enunciati e soluzioni in forma moderna)

I) a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo e c e la sua ipotenusa. Sappiamo che a x b = 706,02 e che c supera a di 37,90 unità. Quanto valgono i tre lati?

Soluzione: sappiamo che a x b = 706,02 , c - a = 37,90 e naturalmente a² + b² = c² . Cercando di impostare delle equazioni che sfruttino queste conoscenze: (ab)² = a² x b² = a² x (c² - a²); qui possiamo applicare il prodotto notevole: c² - a² = (c - a)(c + a). Abbiamo quindi l’equazione: (ab)² = a²(c - a)(c + a). Dividiamo ambo i membri per c - a ed otteniamo:

,

nella quale a primo membro compaiono solo quantità note: . Per sistemare il secondo membro occorre qualche passaggio: dentro la parentesi sottraiamo e sommiamo a ottenendo: [p. 57 modifica]

, riscriviamo poi le parentesi per isolare il binomio che ci interessa: ed applichiamo la proprieta distributiva: ; qui possiamo sostituire il termine che conosciamo: . L’equazione di partenza puo essere riscritta come: ovvero: che e un’equazione di terzo grado. Il lettore interessato potra risolverla con l’algoritmo di Cardano.

3.2.17 Lǐ Chúnfèng (李淳风)

Matematico, astronomo e storico visse nel VII secolo (602 – 670) in un periodo di grande impulso agli studi matematici. Diresse diverse istituzioni scientifiche dedite in particolare all’astronomia ed alla calendarizzazione e promosse importanti riforme al calendario.

Commento criticamente i Nove capitoli dell’arte matematica e l’opera critica su questo testo di Liú Huī (刘徽) nonché il lavoro di altri matematici. Fu anche manualista coordinando un gruppo di lavoro che scrisse I dieci classici matematici (十部算经 Shíshū suànjìng), una raccolta di dieci trattati di intento didattico che ebbe grande fortuna ma di cui non ci e arrivato granché. Nella sua epoca la matematica era entrata tra le materie di esame per i concorsi del funzionariato.

Un suo risultato è il calcolo 27.720 come minimo comune multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Scheda
I dieci classici matematici (十部算经 Shíshū suànjìng)

Ai primi del settimo secolo, agli inizi del regno dei Táng (唐朝, 618 – 907), la comunità scientifica cinese ed una parte culturalmente attiva della sua società di riferimento sentirono la necessità di una sistemazione accurata delle conoscenze matematiche e di uno strumento che ne facilitasse lo studio e la diffusione negli ambienti in cui si sarebbero selezionati i gruppi dirigenti. La matematica era entrata a far parte del bagaglio culturale richiesto ai funzionari. Per ordine imperiale vennero allora riunite in un’unica raccolta le principali opere consegnate dalla tradizione.

La redazione di questa raccolta venne affidata ad un gruppo di lavoro diretto da Lǐ Chúnfèng (李淳风) e duro diversi anni. I testi inseriti erano più di dieci ma ragioni di ordine simbolico od estetico spinsero commentatori più tardi a dare alla raccolta il nome di Dieci classici. La maggior parte dell’opera e pero andata perduta. È probabile che i criteri adottati fossero solo in parte filologici, privilegiando la sistemazione teorica e l’esposizione di risultati e procedimenti.

Ecco alcuni dei testi inseriti:

  1. Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng)
  2. I nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù)
  3. Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng) di Liú Huī (刘徽)
  4. Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suànjìng)
  5. Manuale matematico dei Cinque Dipartimenti Amministrativi (五曹算经 Wǔcáo suànjìng)
  6. Manuale matematico di Xiàhóu Yáng (算经陽夏侯 Xiàhóu Yáng suànjìng)
  7. Manuale matematico di Zhāng Qiūjiàn (张建邱算经 Zhāng Qiūjiàn suànjìng)

[p. 58 modifica]

8. Cinque classici di metodi aritmetici (五经算术 Wǔjìng suànshù) di Zhēn Luán (甄鸾)
9. Continuazione della Matematica antica (继古算经 Jìgǔ suànjìng) di Wáng Xiàotōng (王孝通)
10. Memorie su metodi algebrici tradizionali (术数记遗 Shùshū jìyí) di Xú Yuè (徐岳)
11. Metodi di interpolazione (缀术 Zhuì shù) di Zǔ Chōngzhī (祖冲之)
12. Arte dei tre gradi numerici (三等术 Sānděng shù) di Dōng Quán (东泉).

Di alcuni di questi si e gia parlato nei capitoli precedenti cui si rimanda. Il quinto e un manuale del V secolo originariamente rivolto a dirigenti provinciali, il cui governo era articolato in cinque diversi uffici, un po’ come gli assessorati odierni; vi compaiono formule geometriche per aree e metodi di approssimazione utili in campo agricolo. Il sesto e una raccolta di problemi. L’ottavo si occupa di questioni calendariali e di grandi numeri. Il decimo risale al terzo secolo e contiene rappresentazioni di numeri assai alti mediante potenze di dieci. Anche l’ultimo testo si occupa di grandi numeri. Buona parte di questa raccolta è andata perduta.


3.2.18 Shěn Kuò (沈括)

Visse nell’XI secolo (1031–1095) e fu un intellettuale quanto mai poliedrico. Scrisse moltissime opere, la lista delle quali ogni tanto si arricchisce di qualche titolo seguendo i progressi della filologia cinese e dell’archeologia. I problemi di attribuzione che lo riguardano sono complicati a causa delle diverse campagne censorie o revisioniste succedutesi nel corso dei secoli che hanno eliminato parte della produzione scritta. Fu un personaggio dall’ingegno decisamente multiforme: funzionario, ministro, consigliere imperiale, diplomatico, direttore di diversi istituti culturali, militare, storico, filosofo, poeta, narratore in prosa, musicista, critico d’arte, archeologo, etnografo, cartografo, botanico, zoologo, geologo, agronomo, meteorologo, farmacologo, idraulico, ingegnere, inventore, astronomo, matematico ed autore addirittura di una guida di viaggio che consiglia anche il tipo di veicolo, il vestiario ed il vettovagliamento più adatti per certi percorsi. Le sue opere ed i numerosi accenni che gli tributano I commentatori successivi sono una immensa fonte di informazioni sulla civiltà cinese della sua epoca. Sebbene molto sia andato perduto, in esse e rappresentato quasi ogni aspetto della vita pratica ed ideale del suo Paese.

Vi compaiono tra le altre cose descrizioni accurate delle orbite della luna e di altri corpi celesti. Da astronomo miglioro la sfera armillare, l’uso dello gnomone e di altri strumenti per l’osservazione astronomica. Formulo, inoltre, diverse ipotesi sulla formazione della terra basate sull’osservazione dei fossili marini trovati nell’entroterra e sui suoi studi geologici. Miglioro sensibilmente la stampa a caratteri mobili che era stata inventata da altri in quel periodo, avendone intuito le potenzialità. Essa pero non ebbe grandissimo successo a causa delle caratteristiche della lingua cinese. Shěn realizzo due atlanti, diversi scritti sull’arte del governo, alcune teorie di arti militari e fortificazioni, alcuni scritti sulla pittura, dei trattati medici e farmacologici, e numerose poesie. Scrisse anche un trattato di musica in cui si parla di armonici in una forma matematica.

La sua opera fondamentale è costituita dai Saggi del Piccolo Ruscello di Sogno (夢溪筆談 Mèngxī Bǐtán) scritti nel 1088 quando era stato messo a riposo forzato in una sua proprietà da cui nome e tratto il titolo. In questo testo che spazia tra molti soggetti diversi, dalla poesia alle osservazioni scientifiche, compare la prima descrizione scientifica di un tipo di bussola magnetica in uso nella navigazione e si distingue il Nord magnetico da quello reale. Si descrive, poi, un sistema di meridiani e di misurazioni astronomiche e terrestri. Si parla di ingegneria idraulica e navale, e di architettura. [p. 59 modifica]Le istanze matematiche salienti in questo testo sono relative alle formule geometriche per il calcolo di volumi di solidi regolari e troncati (ad esempio si determina il numero di mattoni necessario a costruire una piramide), alle equazioni anche di ambito analitico (con una tecnica simile a quella per le equazioni alle differenze), a problemi di tipo trigonometrico su corde ed archi ed alla rappresentazione di numeri grandi come 1.043. Alcune sezioni illustrano problemi matematici di contabilità, tassazione e misure di appezzamenti di terreno a fini fiscali, cambio di moneta e di merci, equivalenze tra unità di misura di tipo diverso, problemi di determinazione di distanze a fini militari. Vi compare un metodo di calcolo di distanze possibili di missioni militari in relazione alle capacità di trasporto di vettovaglie e materiali.
Cinesi scuola e matematica imm16.png
In altre opere Shěn semplificò gli algoritmi del calcolo con le bacchette e ne inventò di nuovi, e si occupò di permutazioni per determinare il numero di possibili combinazioni di oggetti su di una scacchiera per il gioco del wéiqi (围棋, meglio noto in Europa col nome giapponese di go), calcolandone 847.288.609.433. Fece anche misurazioni quantitative sui fenomeni ottici legati alla camera oscura. Come esempio di problema trigonometrico vediamo la determinazione di un valore approssimato per l’arco a sotteso da una corda c che stacca la sagitta s in una circonferenza di diametro d; Shěn propone il valore che si ottiene dalla formula: .

A lui fonti più tarde attribuiscono la scoperta di quello che oggì è universalmente chiamato Triangolo di Tartaglia-Pascal, che in effetti è usato nella combinatoria di poco successiva anche se altri lo attribuiscono piuttosto a Jiă Xiàn (贾宪).

3.2.19 Jiă Xiàn (贾宪)

Visse nella prima meta del XI secolo e scoprì il triangolo che porta oggi il nome degli scienziati europei Tartaglia e Pascal. Questi infatti, a lui ben posteriori, appartenevano alla cultura scientifica di quella civiltà che, sbaragliate con la violenza tutte le altre, quasi riuscì a cancellarne le tradizioni culturali. La prima testimonianza scritta di questo schema e di diversi procedimenti ad esso legati è pero in un’opera del matematico Yáng Huī (杨辉) del XIII secolo, cui andrebbe legittimamente ascritto. A Jiă Xiàn questo schema serviva, probabilmente, come strumento per la ricerca di radici quadrate e cubiche e per altre ricerche algebriche. Le sue opere sono andate perdute ma la sua memoria sopravvisse grazie ai commenti dei matematici posteriori.

3.2.20 Lǐ Zhì (李治)

Visse tra mille difficolta nell’epoca dell’occupazione mongola della Cina, tra il 1192 ed il 1279, girovagando in poverta per buona parte della sua vita. Dopo la pubblicazione del suo capolavoro, lo Specchio marino delle misure circolari (測圓海鏡 Cè yuán hǎi jìng, 1248), in cui si occupava di equazioni polinomiali, e dei Nuovi passi nel calcolo (益古演段 yìgǔ yǎnduàn, 1259) in cui si mostrano applicazioni di metodi algebrici alla risoluzione di problemi geometrici, la sua situazione personale migliorò nettamente sino a renderlo consigliere dell’imperatore Kublai Khan (il nipote di Gengis Khan di cui si parla anche nel Milione di Marco Polo). Diresse diverse istituzioni culturali. Probabilmente una parte della sua produzione andò bruciata dietro suo esplicito ordine.

Nelle sue opere compare la prima testimonianza scritta di un procedimento per la costruzione di polinomi di grado arbitrario in una variabile che prevede di sistemarne i coefficienti in una struttura simile ad un vettore colonna.

In termini moderni: [p. 60 modifica].

Tale procedimento fa parte di un metodo di risoluzione di equazioni. Per Lǐ i coefficienti possono essere anche numeri negativi o razionali rappresentati in frazioni decimali. Questo incolonnamento fa pensare che i matematici di questa epoca disponessero di metodi di risoluzione o di riduzione del grado simili a quello di Ruffini.


3.2.21 Guō Shǒujìng (郭守敬)

Visse dal 1231 al 1316 ed è considerato il padre della trigonometria sferica cinese. Astronomo ed ingegnere oltre che matematico, sviluppò le sue ricerche per migliorare i metodi di osservazione del cielo e la sistemazione dei dati raccolti. Perfezionò lo gnomone ed organizzò diversi osservatori astronomici in diverse parti del Paese. Promosse una delle più importanti riforme del calendario anticipando per alcuni aspetti la Riforma Gregoriana europea. Probabilmente poté completare il lavoro di Shěn Kuò sulla trigonometria grazie alla circolazione di risultati matematici provenienti dal mondo islamico.
Figura 5 Il Triangolo di Yáng Huī (杨辉) ― Tataglio - Pascal in una illustrazione del libre Xiángjiě jiǔzhāng suànfǎ (详解九章算法) dello stesso Yáng Huī
Visse dal 1238 al 1298. Si occupò diffusamente di algebra e scoprì le proprietà di quello che oggi è chiamato Binomio di Newton. Nel Xiángjiě jiǔzhāng suànfǎ (详解九章算法, 1261) espose i procedimenti, altrimenti perduti, con cui il predecessore Jiă Xiàn aveva ottenuto il suo triangolo dei coefficienti binomiali e ne applicò i risultati alla ricerca di radici quadrate e cubiche. Di argomento algebrico era pure il perduto trattato sulle potenze ed i coefficienti (如积释锁 Rújī shìsuǒ) in cui esponeva vari metodi per determinare i coefficienti binomiali e farvi calcoli che saranno ripresi dai matematici successivi. Nel Xùgǔ zhāiqí suànfǎ (续古摘奇算法 Sviluppi di antichi metodi di calcolo notevoli, 1275) e nel Suànfǎ tōngbiàn běnmò (算法通变本末 Esposizione generale di metodi di calcolo avanzati) riprese la tradizione dei quadrati magici realizzandone di varia complessità sino al lato 10 e inventando schemi circolari con proprietà simili oltre a diversi tipi di tavole e diagrammi da leggere in verticale ed orizzontale per ritrovare somme o prodotti costanti. Diede anche le regole per la loro composizione. Un altro interesse di Yáng fu il calcolo con frazioni decimali. Fu anche [p. 61 modifica]epistemologo e criticò la trascuratezza dei matematici antichi nella fondazione teorica dei procedimenti usati, che sentiva come necessaria per la generalizzazione. Nelle sue opere tentò sempre di fondare le proprie affermazioni su passaggi logici e di dimostrarle. La somiglianza di Yáng con i matematici greci continua anche in certe tematiche geometriche. Gli enunciati di molte sue proposizioni ricordano molto analoghi enunciati euclidei, anche se nelle dimostrazioni si servì di strumenti come lo gnomone che Euclide non usava. Ciò depone per uno sviluppo indipendente.
Scheda

Il Triangolo di Yáng Huī (杨辉) – Tartaglia – Pascal

Si tratta di una tabella di numeri di forma triangolare. Si costruisce mettendo un uno nel vertice; sotto si scrivono sfasati i due uno (1 1), in modo che i tre numeri formino un triangolo; poi si procede nelle altre righe inserendo al principio ed alla fine sempre degli uno e poi i numeri che risultano dalla somma dei due che gli stanno immediatamente al di sopra; in tal modo la riga successiva è 1 2 1, quella dopo e 1 3 3 1 e così via:


1 riga 0
1 1 riga 1
1 2 1 riga 2
1 3 3 1 riga 3
1 4 6 4 1 riga 4
1 5 10 10 5 1 riga 5
1 6 15 20 15 6 1 riga 6
1 7 21 35 35 21 7 1 riga 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 riga 8
1 9 36 84 126 84 36 9 1 riga 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 riga 10


Questa tabella è utilissima per costruire o ricordare elegantemente i coefficienti numerici che intervengono nello sviluppo della potenza di un binomio. Infatti dati due termini (numeri, lettere od altri oggetti cui si possano applicare le operazioni di elevamento a potenza, somma e prodotto) a e b ed un numero naturale n osserviamo che cosa accade elevando il binomio alla n:

.

Nel caso generale cioè per n naturale qualunque vale la seguente formula nota come Binomio di Newton: [p. 62 modifica]

.

Questa e la somma di monomi tutti contenenti le due lettere a e b elevate ad esponenti la cui somma dà sempre n precedute da certi coefficienti che sono rappresentati dalle coppie di numeri sovrapposti tra parentesi. Ad esempio per n=3 abbiamo:

in cui nell’ultimo membro sono stati eliminati i termini uguali ad 1. Il grado di a cala da 3 sino a 0 mentre quello di b cresce da 0 a 3. I simboli con due numeri sovrapposti tra parentesi tonde che indicano i coefficienti si chiamano proprio coefficienti binomiali. Quelli nell’esempio hanno il numero superiore sempre uguale a 3 (cioè all’esponente n) e quello inferiore che parte da 0 ed arriva a 3. Li si calcola con una formula che coinvolge i fattTesto in corsivooriali e che è un po’ macchinosa:

.

Nell’esempio: ; ; ; .

Accade però che questi coefficienti siano gli stessi che compaiono nel Triangolo se interpretiamo n come numero di riga e k come posto del coefficiente all’interno della riga. Così ad esempio nella riga numero 3 al secondo posto troviamo proprio 3 che è il risultato del calcolo precedente. Quindi grazie al Triangolo possiamo sviluppare senza troppi calcoli una potenza di un binomio con esponente alto, al prezzo di scrivere Triangolo sino alla riga desiderata:


3.2.23 Qín Jiǔshào (秦九劭)

Altro esponente della ricerca matematica cinese del XIII secolo (1202 – 1261), è l’autore del Trattato matematico in nove parti (数书九章 Shùshū Jiǔzhāng, 1247) che è l’opera cinese più antica pervenutaci in cui compare il simbolo 〇 per lo zero (Bagni, 1996). Si tratta di un libro dai molti interessi (equazioni algebriche, cose militari, cartografia, fisco, agrimensura, scienze delle costruzioni, fenomeni celesti, problemi finanziari su prezzi ed interessi, tecniche di immagazzinamento di cereali) ricco di argomentazioni matematiche). Ognuno dei 9 capitoli contiene 9 problemi.

Si risolvono equazioni algebriche, sistemi lineari e si calcolano somme di serie aritmetiche. Vi compare una riformulazione del Teorema cinese del resto di Sunzǐ (孙子), che infatti gli è talora attribuito, con commenti e nuove applicazioni algoritmiche applicate alla risoluzione di problemi. Ci sono alcune formule per il calcolo di aree, tra cui una analoga a quella di Erone di Alessandria (10 – 70 p.E.v.) che permette di calcolare l’area di un triangolo dalla lunghezza dei tre lati.

Qín non era un ricercatore a tempo pieno essendosi piuttosto impegnato con successo nella carriera amministrativa. Raggiunta una posizione di potere fu corrotto e concussore. Si occupò di astronomia e del calendario per determinare le date dei solstizi.

Scheda

[p. 63 modifica]

Le formule di Erone di Alessandria e Qín Jiǔshào (秦九劭) per l’area di un triangolo

Dato un triangolo di lati a, b, c la Formula di Erone stabilisce che l’area A vale:

in cui è il semiperimetro.

Esplicitando s si ha: Svolgendo i calcoli e facendo qualche raccoglimento:

che è un’espressione equivalente.

Qín Jiǔshào (秦九劭) propone la seguente:

che è equivalente a quella di Erone (α). Infatti:

che è esattamente l’espressione (β) che già sappiamo essere equivalente ad (α). La versione (α) è però più semplice da calcolare.

3.2.24 Zhū Shijie (朱世杰)

Visse a cavallo del XIII e del XIV secolo, viaggiò per anni per tutta la Cina come docente di matematica nei diversi centri di studio e scrisse due opere che sono arrivate sino ai nostri giorni. La prima è il manuale elementare Introduzione allo studio del calcolo (算学启蒙 Suànxué Qǐméng, 1299) in cui quattro problemi iniziali illustrano le operazioni aritmetiche ed algebriche e poi seguono 284 problemi ed esercizi. Vi si espongono anche metodi di misura di aree e volumi. Questo libro ebbe una straordinaria importanza nello sviluppo della matematica in tutta l’Asia estremorientale.

La seconda è il Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn, 1303) che è uno dei testi fondamentali dell’algebra cinese. Come nel libro precedente quattro problemi iniziali servono ad illustrare metodi risolutivi (delle quattro incognite) con cui affrontare 288 problemi seguenti. Ci sono pagine interessanti dedicate alla conversione di un problema espresso verbalmente in [p. 64 modifica]un sistema di equazioni polinomiali (da una equazione sino a 14) e poi a metodi per ridurre questo ad un’unica equazione in un’incognita. Tutti i problemi sono corredati di equazione finale e soluzione, il che fa pensare che anche questo testo fosse destinato ad un uso didattico più che alla divulgazione di conoscenze tra ricercatori. In questo libro si fa largo uso del Metodo di Ruffini per la fattorizzazione di polinomi e si risolvono equazioni quadratiche e cubiche, trovando anche radici quadrate e cubiche. Compare una classificazione di esse che sfrutta il triangolo di Yáng Huī – Tartaglia – Pascal e c’è la risoluzione di sistemi di equazioni lineari con la diagonalizzazione della matrice dei coefficienti. In seguito la matematica perse la grande attrattiva che aveva esercitato sugli intellettuali cinesi, che si volsero alla calligrafia, alla botanica ed alla farmacologia.

Scheda

Problemi dal Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn) di Zhū Shìjié (朱世杰)

I) Un triangolo rettangolo ha area pari a 30 passi (步 bù, qui nel senso di “passi quadrati”). La somma della base e dell’altezza (cioè rispettivamente del cateto maggiore e del minore) è di 17 passi. Quanto vale la somma della base e dell’ipotenusa?

Soluzione: detto x il cateto maggiore o base, y il minore o altezza e z l’ipotenusa sappiamo che:

da cui, eliminando la y come suggerito nella terza equazione , la seconda diviene: .

Quest’ultima è un’equazione di secondo grado con discriminante e che ammette quindi due radici: . Quindi e . Si è però detto che x è il cateto maggiore quindi consideriamo solo la soluzione tale che cioè: e . Da qui ricaviamo: . La somma che cerchiamo è dunque: .

Zhū però mostra qualcosa di più introducendo una variabile che noi indicheremmo con e che rappresenta la somma richiesta dal quesito; quest’ultima equazione può essere aggiunta al sistema di partenza (α). In tal modo: . Considerando la terza equazione del sistema la prima diviene:
.

Sappiamo però che vale l’equazione (β): da cui si ha: . Sostituendo così il termine quadratico della x nell’equazione (γ) essa diviene:
. Si raccoglie ora la x e la si ricava in funzione della w: . [p. 65 modifica]

Sostituendo quest’ultima nella si ottiene: da cui, con qualche passaggio algebrico:

Zhū ottiene, probabilmente in questo modo, questa equazione di quarto grado in w forse con l’intento di mostrarne metodi risolutivi. Una delle quattro soluzioni di (ε) è quella trovata prima.

II) Una compagnia recluta soldati. Il primo giorno ne arruola il cubo di 3, il secondo il cubo di 4 e così via: se un giorno arruola il giorno dopo ne arruola . Quanti soldati avrà arruolato in tuto dopo 15 giorni? E dopo n giorni? Soluzione: il numero di soldati arruolati e dato dalle somme parziali della serie: in cui k rappresenta il numero dei giorni. Infatti il giorno 1 ne arruola ; il giorno 2, che con quelli del giorno prima fanno 91; e via così. Il testo scompone questa serie in altre più semplici ottenendo per il giorno n la formula: in cui sta per soldati arruolati sino al giorno n.

Un’attività interessante collegata a questo problema può essere quella di trasporlo su di un foglio elettronico. Ecco un esempio realizzato con applicativo Microsoft Excel che permette un facile controllo della correttezza della formula proposta da Zhū: [p. 66 modifica]

giorni giorni + 2 soldati del giorno
(giorni + 2)³
soldati totali FORMULA
1 3 27 27 27
2 4 64 91 91
3 5 125 216 216
4 6 216 432 432
5 7 343 775 775
6 8 512 1287 1287
7 9 729 2016 2016
8 10 1000 3016 3016
9 11 1331 4347 4347
10 12 1728 6075 6075
11 13 2197 8272 8272
12 14 2744 11016 11016
13 15 3375 14391 14391
14 16 4096 18487 18487
15 17 4913 23400 23400
16 18 5832 29232 29232
17 19 6859 36091 36091
18 20 8000 44091 44091
19 21 9261 53352 53352
20 22 10648 64000 64000


3.2.25 Chéng Dàwèi (程大位)

Visse dal 1533 al 1606 e rivestì cariche civili che lo portarono ad interessarsi a problemi di commercio e tassazione. Sotto la spinta di tali interessi pratici si occupò di aritmetica, ma non divenne mai un accademico. È noto per aver raccolto problemi e temi matematici direttamente nei mercati e nelle fiere di molte città osservando i commercianti ed intervistandoli. La sua opera fondamentale, il Manuale di riferimento generale per i metodi computazionali (算法统宗 Suànfǎ tǒngzōng, 1592) in dodici capitoli, è un manuale per l’uso del pallottoliere, strumento assai diffuso in diverse aree del mondo. Questo libro ebbe un’influenza internazionale molto ampia durata più di due secoli. Non è rivolto ad un pubblico di studiosi colti ma a persone che avevano necessità di fare dei conti. Esistevano all’epoca un po’ in tutto il mondo, Europa inclusa, dei professionisti del calcolo che lavoravano per lo stato, i proprietari terrieri, i mercanti od i prestatori di denaro per determinare importi di tassazioni, paghe, prezzi, ed interessi. Queste figure erano in parte simili ai commercialisti di oggi dato che dovevano conoscere bene leggi e regolamenti di ordine economico, ma con un maggiore accento sui metodi di calcolo che appartenevano ad una minoranza della popolazione. Sino a che la notazione indo-araba dei numeri e gli algoritmi scritti per le operazioni non presero piede, pallottolieri, tavole e gettoni da calcolo, insieme ad operatori esperti nel loro uso furono necessari.

Il testo contiene 595 problemi ed è ricco di osservazioni e commenti anche su aspetti caratteristici del ruolo dei numeri nella cultura cinese (quadrati magici, trigrammi divinatori,…), metodi di insegnamento e di studio del calcolo col pallottoliere, tavole di somma da imparare a memoria, spiegazioni dei termini tecnici e diverse curiosità matematiche.

L’attività di Chéng riguardò anche metodi di misura ed altri temi sempre provenienti dalla pratica del commercio e della tassazione. [p. 67 modifica]

Scheda
Problema dal Manuale di riferimento generale per i metodi computazionali (算法统宗 Suànfǎ tǒngzōng)

Un pastorello ha una sola pecora e chiede ad un altro: <<Ci sono cento pecore nel tuo gregge?>> L’altro risponde: <<Se sommassi al mio gregge un altro uguale, e poi ancora uno grande la meta, poi un quarto ed infine la tua pecora, allora si ne avrei cento.>> Quante pecore ha questo secondo pastorello?

Soluzione: si tratta di impostare l’equazione: in cui x è il numero di pecore. Con qualche passaggio: .

Il metodo usato nel testo e diverso ed implica una falsa posizione: poniamo che le pecore siano 10; in questo caso se svolgiamo le operazioni indicate dal secondo pastorello avremo: ; questo numero (che già è curioso per delle pecore che si suppongono vive e perciò intere) non soddisfa la condizione che con la pecora del primo pastorello si raggiunga cento: anziché avremmo voluto 99; allora facciamo: .



3.2.26 Xú Guāngqǐ (徐光启), Matteo Ricci e gli Elementi di Euclide
Nel 1607, durante il regno della dinastia Méng (朝明) cioè in’un’epoca in cui l’interesse per gli studi matematici si era affievolito, Xú Guāngqǐ (徐光启) e Lì Mǎdòu (利玛窦) tradussero in cinese i primi sei libri degli Elementi di Euclide (幾何原本 Jīhé yuánběn). Il primo era un alto funzionario della burocrazia imperiale, nonché scienziato, studioso di agricoltura ed astronomo. Il secondo, grandissimo divulgatore, cartografo, astronomo, studioso di religioni e sacerdote egli stesso, era meglio noto in Italia come Matteo Ricci della Compagnia di Gesù. Questo personaggio è uno dei pochi italiani cui sono state intitolate delle istituzioni culturali in Cina (come marco Polo o Dante Alighieri) essendo stata riconosciuta la sua immensa opera di mediatore tra culture. Il lavoro fondamentale di tutta la sua vita fu quello di tentare di aprire vie di dialogo tra la cultura cinese e quella europea cristiana con la motivazione iniziale di convertire quell’immenso Paese al cattolicesimo. Tale motivazione sfumò lentamente man mano che Ricci si lasciava affascinare e contagiare da diversi aspetti della cultura confuciana. In questo sforzo incessante tento tutte le strade: tradusse moltissimi testi da ed in cinese, realizzò carte geografiche che riunivano le conoscenze europee e quelle cinesi e che oggi definiremmo interculturali, montò orologi, scrisse musica, ma soprattutto tento di mettere a disposizione degli intellettuali cinesi le conoscenze scientifiche dell’Europa del suo tempo, in particolare in astronomia. Il Ricci tento anche di promuovere il sistema di notazione indo-arabo ma alla sua diffusione concorsero più avanti altri europei assai meno rispettosi di lui. [p. 68 modifica]
Figura 6 Matteo Ricci (in abiti tradizionali cinesi) e Xú Guāngqǐ (徐光启) raffigurati nel frontespizio dell’edizione cinese degli Elementi di Euclide (幾何原本 jīhé yuánběn) del 1607
Ciò che invece spinse Xú Guāngqǐ a collaborare col Ricci nella traduzione di Euclide fu probabilmente la constatazione della gravità della crisi degli studi matematici che era iniziata alla fine del XIV secolo. Due secoli dopo molti dei principali risultati della ricerca matematica cinese risultavano incomprensibili alla maggior parte degli intellettuali. Egli attribuiva le cause di questa situazione all’abbandono delle pratiche del calcolo da parte degli studiosi, al legame fortissimo che la cultura popolare stringeva tra matematica e pratiche divinatorie per cui la numerologia mistica squalificava tutta la scienza matematica ed infine alla difficoltà dei testi della letteratura matematica che usavano un linguaggio assai lontano da quello contemporaneo. Xú si volse allora alla bibliografia straniera, cosa piuttosto insolita per un letterato cinese e dovuta forse all’influsso del Ricci, e tradusse diverse opere di matematica, idraulica e geografia. La traduzione degli Elementi venne terminata solo alla fine del XIX secolo da Lǐ Shànlán (李善蘭).



3.2.27 I Méi (梅)

Tutto ciò non bastò a ravvivare gli studi matematici, che ripresero vigore solo alla fine del secolo XIX grazie ai contatti con l’Europa e gli Stati Uniti. I matematici cinesi continuarono a dare contributi ma di minore spessore. È da ricordare la famiglia Méi, il cui più famoso membro fu Méi Wéndǐng (梅文鼎, 1633-1721). Nella sua opera si manifesta una sensibilità occidentale quantomeno nella scelta dei temi. Si occupò infatti della Sezione Aurea. Ciò lo porto a superare la contrapposizione tra la matematica tradizionale e le novità importate dal contatto con i missionari, che in quell’epoca aveva preso la forma di uno scontro ideologico. Méi si dedico all’insegnamento della matematica, che lo porto a viaggiare per il Paese, piuttosto che alla ricerca od alla carriera burocratica. Ebbe molti studenti.

Molti tra i suoi fratelli e nipoti furono matematici ed astronomi. Tra essi Méi Juèchéng (梅瑴成, 1681-1763) che fu per nomina imperiale il curatore responsabile della maggiore enciclopedia matematica della storia cinese, la Raccolta dei principi fondamentali della matematica (数理精蕴 Shùlĭ jīingyùn, 1723) e che curò anche le Opere della Famiglia Mei (丛书辑要梅氏 Méishì cóngshūu jíyào, 1761)


3.2.28 Il periodo dei critici

Il XVIII secolo vide alcune raccolte critiche di lavori della tradizione precedente. Dài Zhèn (戴震, 1724 - 1777) curò la Libreria completa delle quattro branche della letteratura (库全书四 Sìkù quánshū, 1773) e fece pubblicare nuove edizioni di alcuni classici del pensiero matematico.

Ruǎn Yuán (阮元,1764 - 1849), nel corso di una vita dedita al servizio dello stato e ad una ricerca matematica molto vasta, scrisse le Biografie di astronomi e matematici (传畴人 Chóurén zhuán), contenente le biografie di 275 scienziati cinesi e di 41 matematici occidentali. Per la verità in questo testo si includono nella categoria dei matematici esperti e studiosi di diverse discipline (astronomi, calendaristi, geografi, ingegneri, economisti,…), compresi alcuni poeti e musicisti. Probabilmente prevale l’intento critico di salvaguardia della cultura cinese dall’infiltrazione di contenuti di origine [p. 69 modifica]occidentale e dal confronto con la tecnologia e la scienza europea, cosicché questo libro diviene una celebrazione di tutti i sapienti di riferimento, in senso largo. La tesi fondamentale del testo è l’origine cinese o collegata con la cultura cinese della scienza occidentale. Il problema del rapporto della cultura cinese con quella europea fu in questa epoca sempre più sentito. Ruǎn si occupò anche di studi letterari e della ricostruzione filologica di antichi testi confuciani. Curò inoltre le riedizioni a stampa di diversi classici matematici. Allo stesso tempo divenne un’autorità negli studi di calligrafia.

Il suo collaboratore Lĭ Ruì (李锐 1768 - 1817) commentò moltissimi classici e raccolse diversi risultati propri nelle Opere matematiche di Li Rui (遗书李氏算学 lǐ shì suànxué yíshū) nelle quali si occupò di metodi di calcolo delle lunghezze di archi e segmenti, di argomenti astronomici e di equazioni di grado alto.

3.2.29 Lǐ Shànlán (李善蘭) ed il dialogo interculturale nel periodo dei conflitti coloniali

Nel XIX secolo con l’inasprirsi dei conflitti con le grandi potenze coloniali europee via via più aggressive crebbero anche le occasioni di confronto diretto tra sistemi tecnologici e concezioni scientifiche. Molte idee e metodi matematici occidentali si diffusero in Cina in questo periodo. Trattandosi comunque di un’epoca di scontri ed imposizioni, più che una collaborazione tra studiosi si ebbe una contrapposizione tra la cultura cinese e quella europea, affetta da un forte complesso di superiorità. Ebbe un ruolo determinante l’infiltrazione massiccia di missionari protestanti ed, in misura minore, cattolici e l’istituzione di scuole di vario tipo da parte di agenzie occidentali che proponevano curricoli e contenuti assai lontani dalla sensibilità cinese. Esse si rivolgevano a strati sociali diversi da quelli ristrettissimi cui tradizionalmente si era rivolta l’istruzione. Se da un lato in molti casi nella loro opera mostravano una netta sottovalutazione dei saperi scientifici elaborati in Cina, ebbero però il merito di far circolare idee matematiche nuove. La matematica cinese non venne soppiantata completamente dalle produzioni internazionali ma ne subi lentamente l’influenza.

Un personaggio per certi versi anomalo in questo contesto fu Lǐ Shànlán (李善蘭, 1811-1882), matematico di formazione tradizionale che colse la portata rivoluzionaria di novità quali il metodo delle coordinate cartesiane od il calcolo differenziale e, nutrendo una grande fiducia nel dialogo interculturale, tradusse in cinese molti testi scientifici con l’aiuto di alcuni missionari inglesi. Tra le sue traduzioni anche gli ultimi nove libri degli Elementi di Euclide da un’edizione inglese (completando così il lavoro di traduzione e di dialogo iniziato dal Ricci e da Xú Guāngqǐ (徐光启) ai primi del XVII secolo), gli Elementi di Algebra di De Morgan e diversi testi di meccanica newtoniana, geometria analitica ed analisi. Queste branche della matematica facevano così la loro prima apparizione in Cina. In questa occasione venne coniato il lessico tecnico fondamentale della matematica usato ancora oggi nella lingua cinese. Scrisse inoltre raccolte di risultati di propri nelle quali diede sue definizioni e teoremi su logaritmi, serie infinite, combinatoria. In queste opere il suo stile è peraltro assai coerente con quello della tradizione matematica cinese.

3.2.30 Il XX secolo e l’apertura alla matematica internazionale

Alla fine del secolo XIX sia per volontà dei dirigenti della società cinese, sia sotto l’impulso della colonizzazione culturale operata da agenti occidentali, presero vita numerose istituzioni accademiche che diedero notevoli contributi alla ripresa degli studi matematici. Molte di esse avevano proprio l’obiettivo di introdurre temi occidentali o di preparare gli studenti a periodi di studio all’estero. Anche grandi scuole esistenti vennero riorganizzate col massiccio inserimento di contenuti matematici e fisici nei loro curricoli sotto la spinta del confronto con la modernità europea. [p. 70 modifica]La Tóngwén Guǎn (同文館, Scuola di apprendimenti combinati) venne fondata nel 1864 a Pechino (北京 Běijīng) per opera di Lǐ Shànlán (李善蘭) ed era dedita alle lingue straniere per favorire lo studio dei testi della bibliografia internazionale e le scienze matematiche ed astronomiche occidentali. Nella sua offerta formativa c’erano anche corsi di matematica tradizionale. Dalla riorganizzazione di alcune importanti scuole nacque nel 1898 l’Università Imperiale (师大学堂京 Jīngshī Dàxuétáng) di Pechino, oggi ancora assai attiva come Università di Pechino (北京大学 Běijīng Dàxué). Allo scopo di preparare gli studenti cinesi per periodi di studio negli Stati Uniti venne fondato nel 1911 il Tsinghua College (清華學堂 Qīnghuá Xuétáng) da cui poi si sviluppò in seguito l’Università Tsinghua (清华大学 Qīnghuá Dàxué) che è oggi una delle più importanti ed attive istituzioni accademiche della Repubblica Popolare Cinese (华人民共和国中 Zhōnghuá Rénmín Gònghéguó).

Nel 1928 venne fondata a Pechino l’Academia Sinica (中央研究院 Zhōngbāng Bánjiūyuàn) da cui sono derivate sia l’Accademià Cinese delle Scienze (中国科学院 Zhōngguó Kēxuéyuàn) nella Cina Popolare, sia l’Academia Sinica di Taipei (台北市 Táiběi Shìh) nella Repubblica Cinese (华民国中 Zhōnghuá Mínguó, meglio nota in occidente col nome di Táiwān 台湾). Entrambe le istituzioni sono ancora attivissime negli studi fisici e matematici ed hanno relazioni di ricerca con le principali università del mondo. La Società Matematica Cinese (中国数学会 Zhōngguó shùxúe hùi) venne fondata a Shànghǎi (上海) nel 1935.

Nonostante alcuni periodi di difficoltà nelle relazioni internazionali, col progressivo allargarsi della circolazione degli intellettuali e delle idee, la ricerca matematica cinese del XX secolo si è rivolta alle forme consuete della ricerca internazionale ed alle regole, procedure e requisiti di accettabilità condivisi dagli studiosi di tutto il mondo. I criteri di scientificità caratteristici del pensiero occidentale hanno infine prevalso sulle perplessità degli studiosi cinesi talora evidenziate sotto forma di reazioni tradizionaliste, così come nella seconda meta del secolo si è imposto l’inglese come lingua privilegiata per l’espressione dei contenuti scientifici di rilievo. Ai primi del XX secolo matematici di formazione europea e statunitense tennero lezioni e corsi nelle università e nei più diversi consessi di studiosi cinesi. Tra essi il tedesco Konrad Knopp (1882 – 1957, in Cina tra il 1910 ed il 1917) e l’inglese Herbert Westren Turnbull (1885 – 1961, in Cina tra il 1911 ed il 1915). Nel 1917 il matematico Hú Míng Fù (胡明復 1891-1927) ottenne un dottorato ad Harvard. Nel 1932 a Zurigo venne ammessa per la prima volta una rappresentanza cinese ad un congresso internazionale di matematica.

Una gran parte dei temi topici della ricerca matematica internazionale fu introdotta in Cina da Xióng Qìnglái (熊庆来 1893 — 1969) che, dopo aver studiato in Europa dal 1913 al 1921, riuscì ad innalzare notevolmente il livello dei curricoli universitari cinesi includendovi esami di geometria, algebra, analisi, equazioni differenziali, meccanica analitica e fisica matematica e scrivendo una decina di libri di testo.

Da allora molti altri matematici cinesi frequentarono le università di tanti Paesi in Europa e delle Americhe e vi fecero ricerca dando contributi importanti. Alcuni fecero poi ritorno alle tante istituzioni accademiche e culturali del loro Paese e vi lavorarono. La Guerra Civile (国共内战 Guógong Nèizhàn, 1927 - 1950) ebbe effetti anche sulle università e sugli intellettuali, buona parte dei quali lasciò la Repubblica Popolare Cinese e si recò a Táiwān (台湾) o ad Hong Kong (香港 Xiānggǎng), città-stato sotto sovranità britannica sino al 1997 ed oggi regione a statuto speciale. Le università della Cina Popolare vennero però presto ricostituite e riportate ad un alto livello, per poi seguire le alterne vicende dell’enorme Paese socialista. La divisione del mondo in blocchi contrapposti portò i suoi studiosi a collaborare principalmente con colleghi dell’area filosovietica, con flussi variabili a seconda dei rapporti politici tra i diversi Paesi e fasi di isolamento pressoché completo. [p. 71 modifica]Intanto i Paesi di cultura cinese entrati nel blocco capitalista partecipavano agli scambi accademici vieppiù intensi che caratterizzano la ricerca contemporanea. Molti seguirono il flusso che portava gli intellettuali più validi di tutto il mondo negli Stati Uniti, ove trovavano migliori condizioni economiche e di ricerca. I più noti matematici di origine cinese di questa fase hanno seguito percorsi di questo genere. Per quel che riguarda il flusso degli studiosi e gli scambi culturali è da segnalare anche il ruolo della Repubblica di Singapore (新加坡 Xīnjiāpō, in malese Singapura, in tamil சிங்கப்பூர் Cingkappūr), curiosa città-stato dalle quattro lingue ufficiali che è divenuta un crocevia di accademici interessati a dialogare col mondo di cultura cinese ed analizzarlo. Recenti prove comparative internazionali hanno rivelato gli stupefacenti livelli di competenza matematica degli studenti di Singapore.

Oggi matematici di cultura cinese sono tra i protagonisti della ricerca internazionale e le università cinesi sono meta di studenti e professori di tutto il mondo. Conclusasi la fase della contrapposizione internazionale dei blocchi ed apertasi negli anni novanta una stagione di trasformazioni sociali e culturali, la Cina Popolare ha preso a partecipare dei processi internazionali di ricerca con enorme energia e con grande successo. Si può presumere che il flusso che portava molti intellettuali eccellenti verso le università statunitensi od europee si vada invertendo col procedere dei cambiamenti.

Occorre inoltre sottolineare un fattore completamente nuovo: così come in tutti i settori della vita civile cinese e secondo una tendenza mondiale di tutta la ricerca matematica, sono numerose le donne che sono riuscite ad ottenere ruoli di prestigio ed a pubblicare ricerche significative anche nell’ambiente accademico matematico cinese. Forse qui più che altrove, anche solo per il loro numero, l’accesso delle donne a nuovi ruoli dirigenziali ed intellettuali un tempo preclusi costituisce un cambiamento sociale ed antropologico determinante che ha conseguenze epocali.

Vediamo qui solo qualche personaggio particolarmente noto o dalla biografia significativa.

Xŭ Băo-lù (宝騄许 più conosciuto come Pao-Lu Hsu, 1910 – 1970) fu un importante ricercatore della Cina Popolare. Alla fine degli anni trenta, già ricoprendo una buona posizione accademica, trascorse periodi di studio in diverse università nel Regno Unito approfondendo temi di probabilità e statistica e producendo diversi lavori sull’inferenza. Conseguì colà il Ph.D. (il titolo più importante degli studi di post dottorato) e diversi altri titoli. Durante la Seconda Guerra Mondiale rientrò in Cina ove continuò a lavorare a temi di statistica multivariata pur tra grandi difficoltà economiche. Promosse l’innovativa introduzione delle matrici in questo contesto. Dopo la guerra collaborò con varie università statunitensi ove ricoprì anche incarichi accademici pur rimanendo legato alle istituzioni accademiche di Pechino. La sua salute cagionevole non gli impedì di essere un autore assai prolifico ed un insegnante piuttosto apprezzato sino alla morte, nel 1970.

Huà Luógēng (华罗庚, 1910 – 1985) fu uno dei matematici più prolifici, avendo scritto più di duecento lavori, molti dei quali sono divenuti dei riferimenti fondamentali per interi nuovi filoni di ricerca. I suoi studi sui numeri primi diedero nuovo impulso alla ricerca sulla Congettura di Golbach. Questo tema fu in seguito particolarmente frequentato dai matematici cinesi tra cui il suo allievo Chén Jǐngrùn (陈景润 1933 – 1996), lui pure matematico assai importante. Huà spazio in moltissimi campi, in particolare l’aritmetica e l’algebra. Alla fine degli anni cinquanta ebbe anche una funzione importante nella fondazione e promozione di università e di istituti di ricerca nella fase storica in cui la rottura dei rapporti tra la Cina Popolare e l’Unione Sovietica aveva privato la partenza dei tecnici russi che avevano rivestito ruoli nevralgici in tutte le aree scientifiche e tecniche della vita produttiva, economica e sociale. La sua figura è forse una delle più emblematiche degli studiosi della sua generazione nella Cina Popolare: per via delle complesse vicende del suo Paese non ebbe mai occasione di seguire una [p. 72 modifica]carriera universitaria regolare neppure come studente e non ebbe mai né laurea né altri titoli accademici se non quelli di direttore di istituzioni accademiche e quelli che gli furono attribuiti honoris causa da varie università del mondo. La sua impressionante biografia assume una particolare connotazione eroica, alla luce delle vicende del contesto, per via del fatto che in seguito ad una malattia contratta nella prima gioventù fu disabile con forti problemi di movimento per gran parte della sua vita.

Scheda
La Congettura di Goldbach

Una congettura è una proposizione di carattere matematico di cui non si ha una dimostrazione, e che quindi non è teorema, ma della quale non esistono nemmeno controesempi, ossia dei casi noti in cui non valga. In altre parole è un’affermazione cui siamo tentati di credere perché è verificata in tutti i casi che ci possono venire in mente ma di cui non possiamo affermare la validità generale, cioè in ogni caso possibile. La storia della matematica ha visto molte congetture che sono state dimostrate talora anche dopo secoli di tentativi. Altre, come questa, sono tuttora problemi aperti.

Enunciato (f): ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La verifica della validità della congettura per numeri piccoli è immediata:
; ; ;…

La congettura non dice che tale modo di scrivere i numeri debba essere unico (anche senza considerare l’inversione dell’ordine degli addendi), infatti non lo è: ; .

La sua origine è in un carteggio del 1742 tra i matematici Christian Goldbach (1690 – 1764) e Leonhard Euler (1707 – 1783). Nel corso di una lunga storia di tentativi di dimostrazione, oltre alle verifiche per numeri assai grandi rese possibili dai calcolatori elettronici (che comunque non risolvono il problema della generalità), si è evidenziata una versione più debole, ossia una proposizione simile con qualche ipotesi aggiuntiva che la rende meno generale. Il rapporto tra una proposizione forte (quella originaria) ed una debole consiste nel fatto che provando la prima si avrebbe una dimostrazione anche per la seconda. Il contrario non vale, ma se si dimostra una proposizione debole almeno si è acquisito un teorema su argomenti simili, seppure in una campo più limitato di quello in cui vale anche la forte. La Congettura debole di Golbach affferma che:

Enunciato (d): ogni numero intero dispari maggiore di 7 può essere scritto come la somma di tre numeri primi dispari eventualmente ripetuti.

Anche in questo caso si vede facilmente come la proposizione valga per numeri piccoli:
; ; ;…

ma per numeri più grandi le cose si complicano ed anche questo problema rimane aperto nel caso generale.


Chén Xǐngshēn (陳省身, noto come Shiing-Shen Chern, 1911 – 2004) fu uno dei più importanti studiosi di geometria differenziale del secolo passato. Nato nello Zhèjiāng (浙江), dopo la formazione [p. 73 modifica]accademica in varie università cinesi, negli anni trenta lavorò in Europa ad Amburgo ed a Parigi ove conseguì altri titoli accademici. Dopo il ritorno in una Cina sconvolta dall’aggressione giapponese fondò a Shànghǎi (上海) l’Istituto Matematico dell’Accademia Sinica. Poco prima della Guerra Civile si trasferì negli Stati Uniti ove insegnò e lavorò a lungo. Divenuto cittadino americano, diresse numerose importanti scuole di alta formazione ed istituti di ricerca a Chicago e Berkeley. Torno nella Cina Popolare ove fondò alcuni centri di ricerca.

Xiàn Zhōng Wáng (宪钟王 1918 - 1978) si laureò in Cina all’Università Tsinghua (清华大学 Qīnghuá Dàxué) di Pechino e completò gli studi nel Regno Unito, sino al Ph.D. nel 1948. Fece poi ritorno in Cina ed in seguito alla Guerra Civile riparò prima nella Repubblica Cinese e poi negli Stati Uniti d’America ove visse sino alla morte. Nel campo della topologia algebrica scoprì le sequenze di Wang che sono particolari insiemi di gruppi di omologie. Risolse alcuni importanti problemi aperti sui sottogruppi di un gruppo di Lie (una struttura algebrica dalle caratteristiche utili in topologia)

Qiū Chéngtóng (丘成桐, 1949 – vivente) è più noto come Shing-Tung Bau che è il modo in cui si leggono i caratteri che compongono il suo nome secondo la pronuncia cantonese. Originario del Guǎngdōng (广东) si trasferì in giovane età ad Hong Kong (香港 Xiānggǎng), allora sotto la sovranità britannica, ed ivi si laureò. Conseguì poi il Ph.D. a Berkeley, negli Stati Uniti e da allora lavora in diverse prestigiose istituzioni di quel Paese. Collabora però anche con diverse istituzioni accademiche cinesi ed internazionali. Nel 1976 dimostrò la Congettura di Calabi su di una classe di varietà complesse che oggi portano anche il suo nome (le Varietà di Calabi-Bau) e che sono una delle basi geometriche della teoria fisica delle stringhe. Nel 1979 dimostrò con Richard Schoen il Teorema dell’energia positiva in Teoria della Relatività Generale. Sono notevoli anche i suoi lavori in Geometria differenziale. Ha collezionato un’impressionante serie di onorificenze e premi accademici internazionali, tra cui la medaglia Fields, la più importante cui un matematico possa aspirare. Raggiunti tali successi si è ricordato del suo Paese d’origine istituendovi fondi, borse di studio e premi e finanziando diverse scuole di alta formazione. Si è inoltre occupato di letteratura cinese ed ha composto diversi poemi nella sua lingua madre.

Lai-Sang Boung (1952 – vivente) nacque ad Hong Kong ed emigrò negli Stati Uniti per concludervi gli studi liceali ed universitari. Giunta al Ph.D. nel 1978, a soli 26 anni, lavorò in diverse istituzioni accademiche degli Stati Uniti ed in Europa. I suoi principali risultati riguardano i sistemi dinamici, argomento al confine tra analisi, geometria, topologia, probabilità e fisica matematica. La Boung ha elaborato complessi metodi di studio per le proprietà ergodiche e statistiche dei sistemi dinamici.

  1. “6.25. Il Maestro disse: <<Un vaso quadrato che non è quadrato. Strano davvero!>>. 13.3. << (…) Un gentiluomo non parla di ciò che non conosce. Se i nomi non sono corretti, il linguaggio è privo di oggetto. Quando il linguaggio è privo di oggetto, agire diventa impossibile. (…) In materia di linguaggio un gentiluomo non lascia nulla al caso>>.” (Leys, 2006) queste citazioni, che sembrano delle prese di posizione polemiche contro le affermazioni moiste e della Scuola dei nomi, appartengono alla tradizione confuciana che pure aborriva la retorica ed i giochi linguistici. Il fatto che lo stesso Confucio (Kǒng Fūzǐ (孔夫子) 551 – 479 p.E.v.), solitamente più interessato a temi etici (l’elaborazione di una morale civile) e politici (la riforma dello Stato), se ne occupi dimostra che, a dispetto della loro successiva scomparsa dal dibattito filosofico e scientifico, le questioni legate alla logica, ai paradossi linguistici ed al rapporto tra nomi, significati ed oggetti avessero una certa importanza. Nella filosofia confuciana esse rimangono marginali, ma non è insensato supporre che il dibattito tra diverse correnti di pensiero nell’Epoca delle Primavere e degli autunni (春秋時代 Chūnqiū Shidai) e nel Periodo degli stati combattenti (战国 Zhanguo Shidai) (cioè tra l’VIII ed il III secolo p.E.v.) fosse ben più articolato di quanto ci è arrivato in seguito ad una lunga storia di censure ed istituzionalizzazioni di saperi e filosofie. Il testo da cui sono tratte le citazioni è di poco precedente al Moismo ed alla Scuola dei Nomi. una certa importanza. Nella filosofia confuciana esse rimangono marginali, ma non è insensato supporre che il dibattito tra diverse correnti di pensiero nell’Epoca delle Primavere e degli autunni (春秋時代 Chūnqiū Shidai) e nel Periodo degli stati combattenti (战国 Zhanguo Shidai) (cioè tra l’VIII ed il III secolo p.E.v.) fosse ben più articolato di quanto ci è arrivato in seguito ad una lunga storia di censure ed istituzionalizzazioni di saperi e filosofie. Il testo da cui sono tratte le citazioni e di poco precedente al Moismo ed alla Scuola dei Nomi.
  2. La questione del rapporto tra le caratteristiche della lingua e le elaborazioni logiche nella cultura matematica nel contesto cinese e piuttosto complessa e travalica i limiti di questo libro. Qui la sfioreremo ulteriormente nel capitolo 4. per ulteriori approfondimenti si rimanda a (Spagnolo F., Ajello M., 2008) ed agli altri lavori del GRIM (Gruppo di ricerca sull’Insegnamento/Apprendimento delle Matematiche) di Palermo che ha prodotto una notevole bibliografia di studi dedicati alla cultura matematica cinese.