Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo I

by Anonimo

Tema terzo - Capitolo I

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Anonimo - Matematiche Fascicolo terzo (1839)

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TEMA TERZO

Frazioni in generale; loro principali proprietà; e prime trè operazioni dirette ed inverse sulle medesime.

§. I.

Frazioni in generale, e loro principali proprietà.

1. Quel poco, che ne’ due precedenti Temi abbiamo detto intorno ai numeri, è il fondamento di tutta l’Aritmetica. Tutto quello, che potremo dire in seguito relativamente a questa scienza, non sarà che una ripetizione di ciò che precede, convenientemente modificato od anche generalizzato secondo i differenti punti di vista, sotto i quali si ravviserà; di modo che in quello, che già sappiamo, ritroveremo press’a poco tutto ciò, che potremo imparare d’ora in avanti.

Quindi è che, ritornando ora colla mente sulle nostre idee, noi cominceremo soprattutto dal generalizzare la idea di numero, ch’è la principale di tutte.

Abbiamo detto da principio (Tema primo, §.I, N.° 1), che un numero si può riguardare come la collezione di più unità simili, intendendo per unità una cosa qualunque individuale.

Siccome niente impedisce di prendere per unità quella cosa, o soggetto individuale, che più ci pare e piace, così un numero composto di quante mai si vogliano unità, riguardandosi come rappresentante un Tutto unico, che sia la collezione o l’aggregato di coteste unità medesime, considerate come Parti semplici, si potrà esso stesso prendere, o considerare come una nuova unità, o Soggetto composto, atto a formare colla successiva ripetizione di se medesimo qualunque altro numero di unità composte uguali.

Perciò d’ora in avanti si potrà intendere per Numero anche la collezione di più unità, ciascuna delle quali sia pure la collezione, o l’aggregato di quante altre mai si vogliano a piacere.

Ma quì avvertiremo, che considerando questa seconda collezione come già fatta, la prima si giudicherà come da farsi, ossia un numero si riguarderà come la collezione da farsi di più altri numeri uguali; e sotto questo punto di vista un numero qualunque scritto si potrà considerare come un Moltiplicatore in una operazione di moltiplicazione da eseguirsi sopra un Moltiplicando sottinteso (ivi §.II, N.° 11), il qual moltiplicando, come numero, sarà sempre per noi grande quanto mai si vorrà ad arbitrio.

Quindi segue, che una o più cifre, ovvero uno o più caratteri, (che d’ora in avanti scriveremo sempre tutti equidistanti tra loro), oltre all’avere, a tenore delle convenzioni stabilite (ivi §.I, N. °7), un valore semplicemente numerico, sì assoluto che relativo alla loro località respettiva, si potranno nello stesso tempo assumere collettivamente anche come la caratteristica di una operazione, cioè di una moltiplicazione da eseguirsi sopra un’altro numero arbitrario, che nel calcolo non comparirà scritto giammai, ma al quale cotesta caratteristica dovrà sempre mentalmente riferirsi.

Volendo così interpetrare una cifra, od un sistema di cifre, che presentino la propria idea di numero, noi intendiamo di accordare il medesimo significato anche alla cifra elementare 1, ed all’ausiliare 0 isolatamente (ivi §.I, N.° 9.) talmentechè riguarderemo la prima come la caratteristica della moltiplicazione per uno, e la seconda come la caratteristica della moltiplicazione per zero; cioè significheremo colla prima, che il numero sottinteso si deve prendere una volta sola, e colla seconda nessuna volta.

2. Il numero sottinteso, a cui, come a moltiplicando, deve riferirsi il moltiplicatore, in quanto che si considera come una collezione già fatta od un’aggregato di unità, o parti semplici simili formanti un Tutto unico, noi lo chiameremo numero concreto. Il moltiplicatore poi considerato separatamente, od astrattamente dal moltiplicando, in quantochè denota una collezione da farsi si chiamerà in opposizione Numero astratto.

Intendendo noi di non considerare in seguito, che numeri astratti, i quali, come caratteristiche di operazioni da farsi sopra un numero arbitrario non hanno attualmente per se stessi alcun valore numerico preciso e determinato; e d'altronde volendosi o dovendosi fare sopra di essi delle operazioni simili a quelle praticate in addietro sopra numeri concreti, si concepisce bene, che basterà a tale oggetto, nell'atto della operazione, semplicemente riguardare cotesti primi numeri come concreti, ed a calcolo poi eseguito prendere od interpetrare i resultati come numeri astratti; ciocchè faremo vedere a suo luogo.

Del resto, se si riflette, che i numeri scritti considerati in addietro si riferivano ad una unità sola, ossia alla cifra, 1, come a segno di soggetto unico concreto semplice, mentre quelli, che si considerano ora, si riferiscono ad un’aggregato di più unità, ossia ad un sistema a piacere di cifre, come a segno di soggetto concreto composto, riferiti che si siano gli uni e gli altri colla nostra mente al loro soggetto respettivo, chiamandosi i primi numeri concreti semplici, potremo chiamare i secondi numeri concreti composti. Mentre dunque il numero sottinteso è un numero concreto semplice, i numeri, che d’ora in avanti si riguarderanno come concreti all’oggetto di praticar sopra di essi delle operazioni simili a quelle praticate in addietro, saranno per noi numeri concreti composti.

3. Come adesso, in virtù delle nostre convenzioni, in una cifra od in un sistema di cifre abbiamo sott’occhio la caratteristica della Moltiplicazione di un numero, che stà nascoso nella nostra mente, per quello rappresentato visibilmente da coteste cifre, così volendosi avere anche una caratteristica per la operazione inversa, cioè per la Divisione (Tema secondo § II N. 10.), noi cominceremo primieramente dal supporre, che cotesto numero sottinteso sia esattamente divisibile per qualunque altro numero imaginabile, o, come suol dirsi, sia sempre un Dividendo perfetto. Indi presa la cifra 1 per un semplice segno, atto a destarci soltanto la idea del numero sottinteso, come unità composta, e scrittala sopra al taglio — , preso per segno di divisione, noi scriveremo sotto al medesimo il numero, pel quale dovrà farsi la operazione, cioè il Divisore.

Così per esempio, se il divisore è 2. si scriverà ${\frac {1}{2}}$; se il divisore è 3 avremo il simbolo ${\frac {1}{3}}$; e così di seguito.

Ma per non parere di non osservar più le convenzioni già fatte (1), se la cifra 1 soprascritta al taglio in uno di cotesti simboli, invece di assumersi come un segno destinato semplicemente a richiamarci la idea di una unità composta, s’interpetra piuttosto come un moltiplicatore di questa, o del numero sottinteso da riferirglisi (1), si concepisce bene, che, scrivendo in luogo di una tal cifra 1, una o più altre cifre qualunque, il nuovo simbolo resultante potrà assumersi per caratteristica di una doppia operazione da farsi sul numero sottinteso, cioè di una moltiplicazione di esso per quello soprascritto al taglio, e di una divisione del prodotto per quello scritto sotto; oppure viceversa, cioè di una divisione del medesimo numero sottinteso per quello sottoscritto, e di una moltiplicazione del quoziente per quello scritto sopra; giacchè queste due operazioni, una volta che si pratichino contemporaneamente sul numero sottinteso, possono tra loro investirsi, senza che il definitivo resultato nell’uno e nell’altro caso sia diverso: ed infatti è facile convincersi, che prender prima tanti numeri uguali al numero sottinteso, quante unità contiene il moltiplicatore, e poi di ciascuno di questi diviso in tante parti uguali, quante unità contiene il divisore, prendere una parte, sarà sempre lo stesso, che dividere prima il numero sottinteso in tante parti uguali quante unità contiene il divisore, e poi di queste parti, e d’altre uguali (se occorre d’altronde) prenderne tante, quante unità contiene il moltiplicatore.

In conseguenza pertanto delle nostre convenzioni si concepisce il significato de’ simboli per esempio, che seguono

${\frac {11}{111}}$,

${\frac {101}{100}}$,

${\frac {734}{101}}$, ....

Del resto riguardando in questi simboli il numero soprascritto al taglio come già riferito

al numero sottinteso, ossìa come un segno del prodotto di questo numero per quello, essi si possono pure riguardare come simboli del quoziente respettivo di cotesto numero concreto soprascritto diviso pel numero sottoscritto. Per un tal motivo il primo per esempio di cotesti simboli, cioè ${\frac {11}{111}}$, si suol leggere, o pronunziare undici diviso per centundici; e così degli altri, come se in essi il taglio fosse semplicemente un segno di divisione dei numeri soprascrittigli per quelli sottoscrittigli.

4. Siccome il numero sottinteso, nella nostra ipotesi di dividendo perfetto (3), coll’attual divisione per un’altro si frange, per così dire, precisamente in tanti numeri parziali uguali, quante unità contiene il divisore, così ai simboli o caratteristiche precedenti si suol dare il nome di Frazioni, sebbene fosse meglio dar loro quello di Frangenti, riguardandole secondo le nostre convenzioni (3) come caratteristiche di operazioni da eseguirsi, piuttostochè espressioni di resultati ottenuti per coteste operazioni medesime; ma noi, conservando loro sempre il nome di Frazioni, le distingueremo in astratte e concrete, secondochè si riguarderanno sotto il primo, o sotto il secondo punto di vista.

Le frazioni riguardate come concrete si sogliono chiamare numeri fratti o frazionarii, ed anche numeri rotti, o semplicemente Rotti.

In opposizione un numero qualunque, concreto o nò, che non sia, o non si consideri come il resultato, o quoziente esatto di divisione alcuna; oppure, che per valutarlo come concreto non bisogni riguardare il numero sottinteso come spezzato in parti, dicesi numero intiero, o semplicemente un Intiero.

Chiamandosi duplo, triplo, quadruplo,... e generalmente multiplo di un numero un’altro numero, che sia il prodotto del primo respettivamente moltiplicato per 2, 3, 4,.. e generalmente per un terzo numero qualunque, e nello stesso tempo chiamandosi reciprocamente subduplo, subtriplo, subquadruplo,.. e generalmente submultiplo di un numero un’altro numero, che sia il quoziente esatto del primo respettivamente diviso per 2, 3, 4,.. e generalmente per un terzo numero qualunque, mentre un numero intiero sarà o denoterà un certo multiplo del numero sottinteso, si può dire, che una frazione qualunque denoti un certo multiplo di un submultiplo, od anche un certo submultiplo di un multiplo, preso o da prendersi sul numero sottinteso medesimo.

5. In una frazione servendosi del numero sottoscritto al taglio per denominare la specie delle parti, o la parte che per mezzo di esso, come divisore, si prende del numero sottinteso, e servendosi di quello soprascritto per numerare o contare le volte, che una tal parte per mezzo di questo, come moltiplicatore si ripete, noi chiameremo il primo di cotesti numeri Denominatore ed il secondo Numeratore della frazione, e l’uno e l’altro considerati congiuntamente si diranno i Termini della frazione medesima. Le parti poi, che per mezzo di una frazione si prendono sul numero sottinteso, si numerano con suoni articolati coll’enunciar semplicemente il numeratore, e si denominano coll’enunciare il denominatore. aggiungendo all’enunciato di questo secondo numero generalmente la finale esimi; se non che esse si specificano coi nomi di mezzi, terzi, quarti, quinti, sesti, settimi, ottavi, noni, decimi, nel caso particolare, in cui il denominatore sia respettivamente

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;

e nell’uno e nell’altro enunciato successivo consiste quello della frazione, che si considera.

Così, mentre la frazione per esempio ${\frac {10}{11}}$ si pronunzia dieci undicesimi, la frazione ${\frac {11}{10}}$ (che dicesi inversa a quella, perchè ha i suoi termini invertiti), si pronunzia undici decimi.

Del resto la frazione ${\frac {10}{11}}$ per quello, che precede (3), si può anche pronunziare o leggere un’undicesimo di dieci, e la sua inversa ${\frac {11}{10}}$ un decimo di undici.

Prima di proseguir oltre sará bene l’avvertire, che il numero sottinteso essendo capace di esser diviso, egualmentechè moltiplicato, per 1, vale a dire, la cifra 1 potendosi egualmente prendere per un divisore, che per un moltiplicatore del numero sottinteso (3), ad un numero qualunque intiero si può dare l’aspetto di frazione, di cui il denominatore sia 1. Allora per esempio il numero intiero 3, ponendosi sotto la forma ${\frac {3}{1}}$, sotto questa si pronzierà trè unesimi; ed in luogo della cifra 1 scrivendosi ${\frac {1}{1}}$ questo simbolo si pronunzierà un’unesimo. Inoltre riflettendo, che il significato od il valore di un numero intiero rimane sempre lo stesso moltiplicandolo e dividendolo contemporaneamente per un’altro (Tema secondo, pag. 4, 24); un Intiero qualunque si potrà anche porre sotto l’aspetto di Rotto, o di frazione di un denominatore dato, col moltiplicarlo prima per questo numero, e collo scriver poi questo numero stesso sotto al prodotto, separato da un taglio. Così volendo cangiare per esempio in settimi l’Intiero 3, si avrà la frazione ${\frac {21}{7}}$

Con questo modo di scrivere ci persuadiamo, che tutto quello che diremo, o praticheremo in seguito intorno alle frazioni, potrà essere esteso, come a caso particolare, anche ai numeri intieri isolati, o congiunti con delle frazioni.

6. Passiamo adesso ad accennare alcune delle principali proprietà delle frazioni in generale.

Dalla origine delle frazioni emergono le seguenti loro proprietà.

«1.ª Secondo che il numeratore di una frazione è uguale, minore, o maggiore del denominatore, il di lei valore, ossìa cotesta frazione riguardata come concreta (4), è pure respettivamente uguale, minore, o maggiore del numero sottinteso, che hà 1 per caratteristica, ossìa del valore della cifra 1.»

Ed infatti, imaginandosi spezzato il numero sottinteso in tanti numeri parziali uguali, quante unità contiene il denominatore di una proposta frazione, è chiaro, che per avere il di lei valore nel primo caso si prenderanno tutti cotesti numeri; nel secondo se ne rigetteranno alcuni, e nel terzo dovrà ripetersi uno di essi un numero di volte maggiore del loro numero totale.

Così per esempio il valore di tutte le frazioni ${\frac {1}{1}}$, ${\frac {11}{11}}$, ${\frac {107}{107}}$,.. è lo stesso di quello di 1; ma quello di ${\frac {7}{11}}$ è più piccolo, e quello di ${\frac {15}{11}}$ è più grande del valore di 1, ossìa del numero sottinteso; per questo motivo quelle frazioni, che hanno il numeratore uguale o maggiore del denominatore, diconsi improprie, mentre quelle che lo hanno minore, sono frazioni proprie, cioè parti del numero sottinteso.

2.ª Secondo che cresce o diminuisce il numeratore di una frazione proposta, restando fisso o costante il denominatore, il di lei valore pure cresce o diminuisce; e secondochè cresce o diminuisce il denominatore, restando fisso o costante il numeratore, il di lei valore viceversa diminuisce o cresce»

Ed infatti nel primo caso si prenderanno più o meno numeri parziali uguali tra loro, e nel secondo di un numero parziale più piccolo o più grande si prenderà un multiplo medesimo, perchè in questo caso il numero sottinteso spezzandosi in più o meno numeri parziali uguali, ognuno di questi riesce più o meno piccolo.

Così per esempio la frazione ${\frac {7}{11}}$ è minore di ${\frac {9}{11}}$ egualmentechè di ${\frac {7}{9}}$.

In virtù di questa proprietà 2.ª è facile convincersi, che moltiplicando per un certo numero il numeratore di una frazione, oppure dividendo per esso (quando si può esattamente) il denominatore, non si fà che prendere un certo multiplo del valore di cotesta frazione; e viceversa, moltiplicando per un certo altro numero il denominatore, oppure dividendo per esso (quando si può esattamente) il numeratore, non si fà che prendere un cert’altro submultiplo del valore della medesima frazione. Se dunque i due numeri, pei quali si moltiplicano o si dividono i termini di una frazione, sono i medesimi, il di lei valore dopo l’una è l’altra operazione rimarrà inalterato.

« 3.ª Secondo chè in una frazione proposta cresce o diminuisce insieme ugualmente il numeratore ed il denominatore, il di lei valore pure cresce o diminuisce, se il primo è minor del secondo, cioè se la frazione è propria; ma se il primo è maggior del secondo, ossìa se la frazione è impropria, il di lei valore al contrario diminuirà o crescerà.»

Così per esempio ${\frac {7}{11}}$ sarà minore di ${\frac {11}{15}}$, e maggiore di ${\frac {4}{8}}$; ma ${\frac {11}{7}}$ sarà viceversa maggiore di ${\frac {15}{11}}$, e minore di ${\frac {8}{4}}$.

Ed infatti, imaginandosi spezzato al solito il numero sottinteso in tante parti uguali, quante unità contiene il denominatore di una frazione, se in questa il numeratore è minore del denominatore, è chiaro, che per averne il valore basterà prendere di tutte coteste parti tante di meno, quante unità contiene l’eccesso del denominatore sul numeratore; e, se il numeratore è maggiore, bisognerà d’altronde prenderne od accattarne, per dir così, d’altronde tante di più, quante unità contiene l’eccesso del numeratore sul denominatore.

Ora, siccome crescendo, o diminuendo egualmente i due termini di una frazione qualunque, l’eccesso dell’uno sull’altro è visibilmente sempre lo stesso, così in questo caso il numero delle parti, che si prenderanno di meno o di più del loro numero totale, sarà pure sempre lo stesso.

Quindi segue evidentemente, che riuscendo più o meno piccola ciascuna parte del numero sottinteso, secondochè i termini di una frazione sono cresciuti o diminuiti, il valore della somma di quelle parti, che si rigettano nel primo caso, o di quelle, che si prendono di più nel secondo, riuscirà più o meno piccolo; e però il valore della frazione propria, pel quale si prendono meno parti del loro numero totale, riuscirà viceversa più o meno grande, ossìa crescerà o diminuirà; e quello della frazione impropria, pel quale se ne prendono di più, riescirà più o meno piccolo, ossìa diminuirà o crescerà.

Nel caso particolare, in cui i due termini di una frazione fossero uguali, allora, non avendo essi l’uno sull’altro eccesso alcuno, per un aumento o decremento medesimo d’ambedue, il valore di una tal frazione rimarrebbe pure sempre il medesimo, e sarebbe quello della cifra 1, come quì sopra si è visto.

7. Affinchè il valore di una frazione qualunque non crescesse o diminuisse, ossìa rimanesse costante, per un qualche aumento o decremento diverso de’ suoi termini, basterebbe generalmente che quest’aumento o decremento fosse tale, che le parti del numero sottinteso che si rigettassero, o che se ne prendessero di più, divenendo due, trè, quattro,.. volte più piccole o più grandi ciascuna, il loro numero divenisse al contrario respettivamente due, trè, quattro.. volte più grande, o più piccolo. Siccome dunque l’eccesso del numeratore sul denominatore, o viceversa, diventa due, trè, quattro.. volte più grande, quando due, trè, quattro,.. volte più grande diventa ciascuno di cotesti termini, com’è facile convincersene; e nel medesimo tempo le parti, nelle quali si spezza il numero sottinteso diventano respettivamente due, trè, quattro,.. volte più piccole ciascuna, quando più grande pure due, tré, quattro',.. volte diventa il denominatore, così una frazione, nel caso d’aumento de’ suoi termini, non cangerà valore, se d’ambedue si prenda un multiplo medesimo.

Parimente, siccome l’eccesso del numeratore sul denominatore o viceversa, diventa due, trè, quattro,.. volte più piccolo, quando due, tre, quattro,.. volte più piccolo pure diventa ciascuno di cotesti termini; e le parti, nelle quali si spezza il numero sottinteso diventano contemporaneamente due, tre, quattro,.. volte più grandi ciascuna, quando più piccolo pure due, trè, quattro,.. volte diventa il denominatore, così una frazione, nel caso di decremento de’ suoi termini, non cangerà valore, se d’ambedue si prenda, (quando è possibile,) un submultiplo medesimo.

Quindi consegue anche quest’altra general proprietà delle frazioni, già di sopra avvertita.

«4.ª Che moltiplicando, o dividendo (se si può esattamente) ambedue i termini di una frazione per uno stesso numero, il di lei valore non si altera»

8. In virtù di questa ultima proprietà due o più frazioni di denominatore diverso si possono ridurre tutte ad avere lo stesso denominatore, senza che il loro valore si alteri.

Le due frazioni per esempio ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {5}{7}}$ si riducono alle due equivalenti respettive ${\frac {14}{21}}$, ${\frac {15}{21}}$ moltiplicando i termini dell’una pel de nominatore dell’altra.

Generalmente, date quante mai si vogliano frazioni di denominatore diverso, moltiplicando successivamente i termini ciascuna per i denominatori di tutte le altre, resulteranno altrettante trasformate, che avranno ciascuna respettivamente il medesimo valore delle date, e tutte uno stesso denominatore comune, che sarà il prodotto di tutti i denominatori di quelle; per la ragione, che il prodotto di quanti mai si voglian fattori resulta sempre lo stesso in qualunque ordine questi si moltiplichino trà loro (Tema primo § II. N. 14)

Così il prodotto di tutti i denominatori delle cinque frazioni per es. seguenti

${\frac {3}{8}}$, ${\frac {7}{11}}$, ${\frac {10}{13}}$, ${\frac {23}{25}}$, ${\frac {29}{43}}$

essendo 1229800, ed i prodotti de’ medesimi, eccettuati ad uno per volta, il primo, il secondo, il terzo, il quarto, il quinto, essendo pure respettivamente

153725, 111800, 94600, 49192, 28600,

se si moltiplica per ciascuno di questi ciascun respettivo numeratore, ed a ciascun prodotto si dà per denominator comune il prodotto precedente 1229800, resulteranno le cinque trasformate equivalenti, che seguono, molto complicate.

${\frac {461175}{1229800}}$, ${\frac {782600}{1229800}}$, ${\frac {94600}{1229800}}$, ${\frac {1131416}{1229800}}$, ${\frac {829400}{1229800}}$

Nella operazione precedente consiste la così detta Riduzione delle Frazioni al medesimo Denominatore.

9. Siccome si può giudicare, che cotesta riduzione si faccia col moltiplicare il numeratore di una frazione delle date pel quoziente esatto del denominator comune a tutte le trasformate, diviso pel respettivo denominatore delle prime, così in quei casi, nei quali si abbia un numero possibilmente il più piccolo del prodotto di tutti i denominatori, che sia divisibile esattamente per ciascuno delle date, noi otterremo le trasformate equivalenti sotto la forma meno complicata possibile.

Nel caso particolare per es. delle nove frazioni seguenti

${\frac {1}{2}}$, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {3}{5}}$, ${\frac {5}{6}}$, ${\frac {7}{10}}$, ${\frac {7}{15}}$, ${\frac {1}{4}}$, ${\frac {3}{8}}$, ${\frac {3}{12}}$

trovandosi 120 pel numero più piccolo possibile, esattamente divisibile per ciascun denominatore, se per ciascuno dei nove quozienti

$60$, $40$, $24$, $20$, $12$, $8$, $30$, $15$, $10$,

si moltiplica ciascun respettivo numeratore, si avranno le nove trasformate equivalenti, che seguono

${\frac {60}{120}}$, ${\frac {80}{120}}$, ${\frac {72}{120}}$, ${\frac {100}{120}}$, ${\frac {84}{120}}$, ${\frac {56}{120}}$, ${\frac {30}{120}}$, ${\frac {45}{120}}$, ${\frac {30}{120}}$

dello stesso denominatore 120.

È facile persuadersi, che i casi, de’ quali si parla, accaderanno, allorchè i denominatori delle frazioni date considerati come prodotti composti di fattori semplici, cioè di fattori, che non siano divisibili ciascuno esattamente, che per se stessi e la unità, ne avranno dei comuni trà loro; giacchè formando a parte un prodotto, nel quale entri soltanto ciascun fattor semplice comune a ciascun denominatore, tante volte, quante basta, e non più, esso sarà il numero più piccolo possibile, che si cerca.

Così nell’esempio precedente i denominatori composti 6, 10, 15, 4, 8, 12 decomponendosi nei loro fattori semplici, cioè respettivamente in 2, 3; in 2, 5; in 3,5; in 2, 2; in 2, 2, 2; in 2, 2, 3, tra’ quali si trovano anche i trè primi denominatori semplici 2, 3, 5, si vede a colpo d’occhio, che formandosi il prodotto de’ soli fattori semplici 2, 2, 2, 3, 5, cioè il prodotto 120, questo sarà il più piccolo possibile, capace di esser diviso esattamente per ciascun denominatore di tutte quelle frazioni.

10. All’oggetto di ottenere tutti i fattori semplici, ne’ quali può decomporsi un numero dato, nella ipotesi che sia un prodotto o numero composto, noi scriveremo primieramente l’uno dopo l’altro, a cominciar dai più piccoli, alcuni di quei numeri, che si riscontra non esser divisibili esattamente per alcun altro numero diverso; e che saranno i seguenti

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,....

Indi, a cominciare dal primo

1.° Tentando la divisione esatta per 2 del numero dato, poi del quoziente,... finchè si può, scriveremo a parte la cifra 2, ripetuta tante volte, quante sono state le divisioni fatte.

2.° Tentando la divisione esatta per 3 dell’ultimo quoziente, poi del successivo,.... finchè si può, scriveremo pure a parte la cifra 3, ripetuta anch’essa tante volte, quante sono state le divisioni fatte per lei.

3.° Tentando la divisione esatta per 5 dell’ultimo quoziente, poi del successivo,.. finchè si può, scriveremo pure a parte la cifra 5, ripetuta anch’essa nel modo stesso; e così di seguito.

Sia per es. 5880 il numero dato. Io dispongo la operazione come segue

5880	2
2940	2
1470	2
735	3
245	5
49	7
7	7

dove il numero dato ed i successivi quozienti sono scritti a sinistra, ed i divisori semplici corrispondenti a destra della linea verticale tirata.

Del resto è facile persuadersi, che i numeri da tentarsi per divisori semplici non possono superare la radice del più gran quadrato contenuto nel respettivo dividendo, perchè se vi fosse un divisore più grande di cotesta radice, siccome il di lui quadrato, cioè il suo prodotto per se stesso, supererebbe il dividendo, bisognerebbe, che vi fosse anche un altro divisore più piccolo; ciò che non si suppone.

Quindi è che, se dopo aver tentati tutti i divisori semplici minori, od almeno non maggiori, della radice quadrata del corrispondente dividendo, non se ne fosse trovato alcuno divisore esatto di lui, sarebbe inutile proseguire il tentativo; e cotesto dividendo dovrebbe considerarsi come un fattor semplice.

11. Volendo, invece della riduzione al medesimo denominatore di più frazioni, far piuttosto quella al medesimo numeratore, è facile convincersi, che, come la prima si fà col moltiplicare i termini di ciascuna frazione pel prodotto de’ denominatori di tutte le altre, oppure pel quoziente esatto del numero il più piccolo possibile, capace di esser diviso esattamente pel denominatore respettivo, così si farà anche la seconda col moltiplicare i termini di ciascuna frazione pel prodotto dei numeratori di tutte le altre, oppure pel quoziente esatto del numero il più piccolo possibile, capace di esser diviso esattamente pel numeratore respettivo.

Così per es., date le sei frazioni

${\frac {2}{5}}$, ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {4}{7}}$, ${\frac {6}{11}}$, ${\frac {8}{13}}$, ${\frac {12}{17}}$

e trovato 24 pel più piccolo numero possibile, capace di esser diviso esattamente pei numeratori 2, 3, 4, 6, 8, 12, se per i respettivi quozienti 12, 8, 6, 4, 3, 2, si moltiplicano i termini di coteste frazioni, avremo le sei trasformate seguenti

${\frac {24}{60}}$, ${\frac {24}{32}}$, ${\frac {24}{42}}$, ${\frac {24}{44}}$, ${\frac {24}{39}}$, ${\frac {24}{34}}$

Siccome trà le frazioni del medesimo denominatore ha un più gran valore quella, che ha il numeratore più grande, ed al contrario trà le frazioni del medesimo numeratore lo hà più piccolo quella, che ha più grande il denominatore (6), così è utile ridurre più frazioni al medesimo denominatore, o numeratore per vedere quale di esse hà un maggiore o minor valore.

Delle due frazioni per es. ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {5}{7}}$ la seconda è più grande della prima, o la prima è più piccola della seconda, perchè ridotte al medesimo denominatore si trasformano nelle due ${\frac {14}{21}}$, ${\frac {15}{21}}$, o perchè ridotte al medesimo numeratore si trasformano nelle due ${\frac {10}{15}}$, ${\frac {10}{14}}$.

La riduzione però al medesimo denominatore è la più utile, perchè con questa si vede inoltre di quanto una frazione supera un’altra. Nell’esempio precedente la seconda frazione supera la prima di ${\frac {1}{21}}$.

12. In virtù della medesima proprietà 4.ª di sopra (7) una frazione, i di cui termini ammettano un divisore esatto comune, si riduce ad un’altra più semplice equivalente.

Così la frazione molto complicata ${\frac {39324}{58986}}$, i di cui termini sono esattamente divisibili per 2, si riduce alla equivalente ${\frac {19662}{29493}}$; questa, i di cui termini sono esattamente divisibili per 3, si riduce a ${\frac {6554}{9831}}$; questa i di cui termini sono divisibili esattamente per 29, si riduce a ${\frac {226}{339}}$; e finalmente questa, i di cui termini sono esattamente divisibili per 113, si riduce a ${\frac {2}{5}}$, frazione molto semplice in paragone della proposta.

Se avessimo immediatamente divisi l’uno e l’altro termine della proposta frazione pel prodotto di tutti quattro i loro comuni divisori semplici 2, 3, 29, 113, ossia pel massimo lor divisor comune 19662 (supposto preventivamente determinato mediante sicuro processo di calcolo), noi avremmo ottenuto più speditamente, e senza tentativo alcuno, il nostro intento; giacchè dividendo attualmente ciascuno de’ due numeri 39324, 58986 per 19662, ed avuti i due respettivi quozienti 2 e 3, si otterrebbe subito la frazione molto semplice ${\frac {2}{3}}$ in luogo della proposta molto complicata.

Si vede dunque, che sarebbe utilissimo l’avere un processo sicuro, onde saper direttamente assegnare il massimo divisore, comune a due numeri dati, quando questi l’avessero.

13. All’oggetto d’investigare un tal processo io ragiono così.

Siccome il massimo divisore, comune a due numeri dati, non può esser che un fattor comune de’ medesimi, considerati come prodotti ciascuno di esso per un’altro fattore, così l’uno e l’altro di tali numeri, riguardandosi come la somma di più altri numeri, uguali ciascuno a cotesto stesso primo fattore comune (Tema I.°, pag. 33), si può imaginare come decomposto per addizione in più altri numeri parziali, uguali ciascuno al massimo comun divisore, che si cerca.

Quindi, nella ipotesi che trà due numeri dati esista un massimo divisor comune, segue evidentemente

Che, sottraendo il più piccolo dal più grande tante volte, quante si può, ossìa dividendo questo secondo numero pel primo (Tema II.°, pag. 24), bisognerà, che il resto della operazione contenga esattamente un certo numero di volte il massimo comun divisore, che si cerca.

Che, sottraendo un tal resto dal numero più piccolo tante volte, quante si può, ossìa dividendo il numero più piccolo pel resto trovato, bisognerà che il nuovo resto, che si trova, contenga anch’esso esattamente il massimo comun divisore, che si cerca, un certo numero di volte, ma minore di quello, che lo conteneva il resto precedente.

Che, sottraendo pure questo secondo resto dal primo tante volte, quante si può, ossia dividendo il primo resto pel secondo, bisognerà pure, che il terzo resto, che si trova, contenga anch’esso esattamente il massimo comun divisore, che si cerca, un certo numero di volte, ma minor pure di quello, che lo conteneva l’ultimo resto precedente.

E così di seguito.

Quindi è, che nella ipotesi, che frà i due numeri dati esista un massimo comun divisore, si arriverà finalmente dopo un certo numero di divisioni ad un resto, maggior di 1, che sarà questo stesso divisor massimo; giacchè, diminuendo successivamente il numero delle volte, ch’esso è contenuto in ciascun resto ulteriore, bisogna, che si arrivi finalmente ad un resto tale, che lo contenga una volta sola; e questo resto dividerà esattamente il precedente a lui.

Pertanto per la ricerca del massimo divisore, comune a due numeri dati, si propone la seguente regola.

«Dividete il più grande pel più piccolo; questo pel resto, che trovate; il primo resto pel secondo; il secondo pel terzo; e così di seguito, finchè non abbiate resto alcuno. L’ultimo resto, che avrà servito di divisore, sarà il massimo divisor comune che cercate».

Ecco il tipo del calcolo pe’ due numeri 799, 2961, il quale io dispongo all’uopo, come segue

	3	1	2	2	2		,
2961	799	564	235	94	47	0

scrivendo cioè ciascun Divisore a destra di ciascun Dividendo, e però ciascun Resto a destra pure di ciascun Divisore, e sopra questo il Quoziente corrispondente.

Apparisce dunque in quest’esempio, che 47 è il massimo divisor comune ai due numeri 799, 2961; e che perciò la frazione ${\frac {799}{2961}}$, dividendo i suoi termini per 47, si riduce alla più semplice ${\frac {17}{63}}$.

Nel caso, che i due numeri dati non ammettessero massimo comun divisore alcuno, si può osservare, che, siccome 1 è divisore esatto di tutti i numeri possibili, allora eseguendo la operazione prescritta si troverebbe 1 per resto ultimo, e questo sarebbe, o simulerebbe il massimo comun divisore voluto.

Ecco il tipo del calcolo pe’ due numeri 317, 873, dal quale apparisce, ch’essi sono in tal caso

	2	1	3	15	1	1	2
873	317	239	78	5	3	2	1

Eccone un’altro pe’ due numeri 16768, 252801, i quali si trovano nel caso medesimo

	15	13	11	7	5	3
252801	16768	1281	115	16	3	1

Quando due numeri dati si trovano in questo caso, il quale non siasi preventivamente riconosciuto, è cosa spiacevole l’aver fatto un calcolo inutile per la ricerca del loro massimo comun divisore; ma è facile persuadersi, che, se nel corso della operazione si giunge ad un resto, che subito si riconosca non esser divisibile, che per se stesso e la unità, e che non divida esattamente il resto precedente a lui, siamo sicuri, che il massimo comun divisore voluto non esiste.

14. Dalla disposizione, che noi abbiamo data al calcolo per la determinazione attuale del massimo comun divisore tra due numeri dati, chiaramente apparisce, che, siccome ogni dividendo si può riguardare come la somma del prodotto del divisore pel quoziente respettivo, e del resto della divisione (Tema secondo, § III, N. 2), così, a cominciar da destra sul tipo del calcolo fatto, se a ciascun prodotto del numero inferiore alla linea orizzontale pel superiore corrispondente si aggiunge l’inferiore immediatamente a destra, si avrà l'inferiore immediatamente a sinistra, dimodochè per mezzo soltanto de’ numeri superiori, cioè de’ quozienti, e dell’ultimo inferiore a destra, cioè del massimo comun divisor trovato, si potranno successivamente ritrovare tutti gl’inferiori a sinistra, e finalmente i due numeri dati, anche nella ipotesi, che questi non ammettessero massimo comun divisore, maggiore di 1.

Questa osservazione ci pone in grado di assegnar direttamente i termini, ai quali si riducono quelli di una proposta frazione dopo averli divisi ambedue pel massimo loro comun divisore, che siasi ritrovato maggiore di 1, senza star a fare attualmente questa doppia operazione; e ciò collo scriver soltanto in luogo del massimo comun divisore trovato, o sotto ad esso, la cifra 1; e poi operando, a cominciar da essa, sù i numeri superiori già ottenuti per quozienti, come se si trattasse di ritrovare o verificare i dividendi o divisori precedenti, e finalmente i due numeri dati, nel caso che per massimo comun divisore trà questi si fosse trovato 1. Ed infatti, sebbene in questo secondo caso i numeri, nei quali si può riguardar come decomposto per addizione ciascuno de’ due dati, riescano tutti uguali ad 1, pure restando essi di numero sempre tanti, quanti nel primo caso, il numero delle possibili sottrazioni del numero più piccolo dal più grande, e di ciascun resto dal precedente, ossìa ciascun quoziente successivo della operazione, rimarrà sempre lo stesso in ambedue i casi. Ecco il tipo del calcolo pel primo esempio precedente

	3	1	2	2	2
2961	799	564	235	94	47
63,	17,	12,	5,	2,	1,

ove i termini ridotti 17, 63 corrispondono respettivamente in colonna ai dati 799, 2961; e però la frazione ${\frac {799}{2961}}$ si riduce a ${\frac {17}{65}}$ come sopra (13).

15. Nel modo stesso, con cui abbiamo investigato il processo per la determinazione del massimo comun divisore trà due numeri dati, si può anche dimostrare, che, se ognuno di essi è divisibile esattamente per un terzo numero diverso da un tal comun divisore, ch’essi abbiano, questo sarà pure divisibile esattamente per quel terzo numero.

Infatti, imaginando ora il numero più grande come decomposto per addizione in più numeri uguali ciascuno al più piccolo, ed inoltre nel primo resto della operazione fatta per la ricerca del massimo comun divisore; il numero più piccolo in più altri uguali ciascuno al primo resto, ed inoltre nel secondo resto; e così di seguito, si vede chiaramente, che

sottraendo il numero più piccolo dal più grande, finchè si può, il primo resto conterrà esattamente una o più volte quel terzo numero; e quindi, sottraendo un tal resto dal numero più piccolo, finchè si può, il secondo resto conterrà pure esattamente una o più volte quel medesimo terzo numero; e così di seguito fino al resto ultimo, ch’è il massimo comun divisore trà i due numeri dati.

In conseguenza di ciò, un numero, che non hà alcun fattore o divisore comune con un’altro, chiamandosi primo con questo, si può facilmente dimostrare la seguente importante proposizione.

«Se più numeri sono dati primi separatamente con un’altro, non potrà mai per questo numero dividersi esattamente il loro prodotto; ovvero un tal prodotto sarà pure primo collo stesso numero».

Infatti, siano primieramente due soltanto i numeri dati, e si abbia un terzo numero, col quale essi siano primi separatamente.

Applicando al primo ed al terzo di questi numeri il processo del massimo comun divisore, bisognerà, che dopo un primo, secondo, terzo,.... resto si ottenga finalmente 1 pel resto ultimo (13, 14).

Dunque, se, invece che al primo ed al terzo numero, si applicasse il medesimo processo al prodotto del primo pel secondo, ed al prodotto del terzo pel secondo stesso, allora ottenendosi pure in questa seconda operazione i quozienti medesimi de’ precedenti (14), i nuovi successivi resti sarebbero respettivamente ciascuno il prodotto de’ precedenti moltiplicati pel secondo numero; e perciò l’ultimo resto sarebbe questo stesso secondo numero.

Dunque il massimo comun divisore trà il prodotto del primo pel secondo numero, e quello del terzo pel secondo, oppure del secondo pel terzo, sarebbe lo stesso secondo numero.

Ora, se si supponesse, che il prodotto del primo pel secondo numero fosse esattamente divisibile pel terzo, come lo è evidentemente quello del secondo pel terzo, in conseguenza di ciò, che precede, bisognerebbe, che anche il massimo comun divisore fra questi due prodotti, (il quale si è trovato essere il secondo numero), fosse esattamente divisibile pel terzo; lo che è impossibile, perchè anche il secondo numero, egualmentechè il primo, è reputato numero primo col terzo.

Siano in secondo luogo trè i numeri dati; e si abbia un quarto numero, col quale essi siano primi separatamente. Imaginando fatto del secondo e del terzo il prodotto, e considerando questo prodotto come un secondo numero dopo il primo, è chiaro, ch’essendo per quel, che precede, anche un tal numero primo col terzo, (ch’è veramente il quarto dato), noi siamo ricondotti al caso precedente.

Si vede, come bisognerebbe comportarsi per la dimostrazione, se quattro o più numeri fossero dati primi separatamente con un altro; e però la nostra proposizione si estende ad un numero qualunque di fattori.

Nel caso particolare, che questi fattori siano tutti trà loro uguali, si conclude

«Che una potenza qualunque di un numero, primo con un altro, è pure numero primo con lui».

E quindi

«Che due potenze medesime o diverse di due numeri primi trà loro sono parimente trà loro due numeri primi».

Del resto si può notare, che quando un numero è primo con tutti i numeri più piccoli di lui, ossia quando non è divisibile esattamente che per se stesso e la unità, si suol chiamare Primo assoluto, o semplicemente Primo.

16. La proposizione precedente, a rigore dimostrata, serve per noi ad uno scopo interessante, ch’è quello di convincerci, che, dopo avere spogliati i termini di una frazione del loro massimo divisore comune, (con che essi sono divenuti primi tra loro), è oramai impossibile di ridurre ulteriormente cotesta frazione ad un’altra equivalente di forma più semplice, ossia di termini più piccoli.

Infatti 12 e 17 per es., termini della frazione ${\frac {12}{17}}$, essendo primi trà loro, se si supponesse, ch’essa si potesse ridurre ad un’altra, i di cui termini fossero più piccoli, potrebbe accadere, che il numeratore di questa fosse primo, o non fosse primo col numeratore di quella, come per es. il numeratore della frazione ${\frac {7}{8}}$, o ${\frac {9}{11}}$.

Nel primo caso, riducendo al medesimo denominatore le due frazioni ${\frac {12}{17}}$, ${\frac {7}{8}}$, equivalenti per ipotesi, bisognerebbe, che il prodotto di 12 per 8, o di 8 per 12, equivalesse al prodotto di 7 per 17; e che in conseguenza il prodotto di 7 per 17, numeri primi ciascuno separatamente con 12, fosse esattamente divisibile per questo numero; ciò che si è dimostrato impossibile.

Nel secondo caso, riducendo al medesimo denominatore le due frazioni ${\frac {12}{17}}$, ${\frac {9}{11}}$, equivalenti pure per ipotesi, bisognerebbe, che il prodotto di 12 per 11, o di 11 per 12, equivalesse al prodotto di 9 per 17, o di 17 per 9; oppure, mettendo in evidenza il massimo comun divisore 3 trà 9 e 12 (con che 4 diviene primo con 3), bisognerebbe che il prodotto di 11 per 4 per 3 equivalesse a quello di 17 per 3 per 3; e che perciò anche il prodotto di 11 per 4 equivalesse a quello di 17 per 3; ed in conseguenza, che il prodotto di 17 per 3, numeri primi ciascuno separatamente con 4, fosse divisibile esattamente per questo numero; ciò ch’è pure impossibile.

Dunque ec.

Quindi è che, quando una frazione è ridotta ad avere i suoi termini primi trà loro mediante la estrazione da ambedue del loro massimo comun divisore, si suol dire, ch’essa è ridotta ai minimi termini, e che in questo stato è irreducibile.

Del resto è facile persuadersi, che la medesima dimostrazione avrebbe luogo anche nel caso, che i due termini di una frazione, equivalente per ipotesi ad una proposta, (i termini della quale fossero già primi trà loro), si volessero più grandi, e non multipli medesimi di questi secondi: d’onde consegue, che, acciò due frazioni possano essere tra loro equivalenti, è necessario e basta, che i termini dell’una siano de’ multipli, o submultipli medesimi de’ respettivi termini dell’altra, e che perciò, proposte due frazioni equivalenti trà loro, se sene forma una terza colla somma, o colla differenza de’ loro respettivi termini, cotesta terza frazione sarà pure equivalente a ciascuna di quelle due.

Così i termini della frazione per es. ${\frac {6}{9}}$ essendo tripli di quelli della frazione ${\frac {2}{3}}$, anche la frazione ${\frac {8}{12}}$, come pure la frazione ${\frac {4}{6}}$, sarà equivalente alla frazione medesima ${\frac {2}{3}}$.