Sulle serie a termini positivi

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Ulisse Dini

1867 Indice:Sulle serie a termini positivi.djvu Matematica Sulle serie a termini positivi Intestazione 14 novembre 2021 75% Da definire

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[13a), 13b)] SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI

[Annali delle Università Toscane, IX (1867), p. 41-76 e Nota p. 77-70]


Le serie a termini positivi sono quelle di cui a preferenza si sono occupati i Geometri, e su esse si sono trovati molti importanti teoremi, fra i quali meritano di essere citati quelli che il sig. Kummer ha pubblicato in una memoria inserita nel Vol. 13 del Giornale di Crelle, e che servono in molti casi per giudicare della convergenza o divergenza delle medesime serie. Modificando un poco questi teoremi io ho trovato che da essi si deducono colla massima facilità una gran parte dei teoremi particolari che si hanno sulle medesime serie, e se ne deducono pure alcun altri, e per questo ho creduto bene di pubblicare qui questa Nota.


1. Sia una serie a termini positivi


e sia una funzione positiva di che a partire da un certo valore di , col crescere di decresce continuamente ed ha per limite zero: s'indichi con a una costante arbitraria positiva, e si formi la funzione


Cangiando in questa in , e sommando si otterrà


e passando al limite, per ed infiniti, ed indicando ora e in seguito con il resto della serie , si troverà

;

[p. 30 modifica]
e quindi, quando sia sempre positiva, siccome è pure positiva, si avrà necessariamente

,


e la serie sarà convergente.

Ora, evidentemente , col crescere di , si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di sino all'infinito si avrà

,


ovvero

,


poichè è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie sarà convergente tutte le volte che l'espressione

,


per , avrà un limite differente da zero.

Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga

,


tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per e si cangi in e si sommi; si troverà

,


ovvero


Ora, siccome tende a zero col crescere di , così i rapporti [p. 31 modifica] in generale saranno finiti e inoltre saranno minori dell'unità; e quindi indicando con una quantità finita maggiore di tutti questi rapporti, si avrà


e se ne concluderà che la serie sarà divergente se è differente da zero.

Per questo e per ciò che precede noi possiamo dunque ora enunciare il seguente teorema.

Essendo una funzione di che col crescere di decresce continuamente ed ha per limite zero, la serie a termini positivi sarà convergente se l'espressione


per , ha un limite differente da zero; e sarà divergente se l'espressione


ha un limite differente da zero1.


2. Questo criterio lascia il dubbio quando ed tendono entrambe a zero. È facile però di vedere che per ogni serie esistono infinite funzioni tali che il criterio riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che sia convergente; si avrà subito una funzione conveniente prendendo , giacchè, così facendo, si ottiene

.


Se poi è divergente, si avrà una funzione conveniente , prendendo

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ove


giacchè si troverà allora


Di qui risulta intanto che per ogni serie esiste una funzione per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.

Infatti se è una tale funzione, indicando con un’altra funzione tale che , e prendendo in luogo della , si troverà


e se è convergente e si ha , basterà prendere decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora ; e se è divergente, e si ha , basterà prendere crescente perchè si abbia ancora .

Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione che tenda a zero, introduceva una funzione tale che , e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi


Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.


3. Andiamo adesso si vedere come il teorema del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.

Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie i cui termini sono alternativamente positivi [p. 33 modifica]e negativi, e sono continuamente e indefinitamente decrescenti è sempre convergente.

Osserviamo perciò che questa serie può scriversi , e così ha i termini positivi. Se ora si prende , si trova subito


e quindi la serie è convergente.


4. Dimostriamo adesso il teorema seguente:

Se sono quantità positive che decrescono continuamente e indefinitamente la serie

(1)
è sempre divergente.

Si prenda infatti ; si troverà

,


e quindi la serie sarà divergente.

Es. Si prenda , la serie (1) diviene la ; e questa è divergente.

Si prenda ancora ; la (1) diverrà


e se ne concluderà che questa serie è divergente.


5. Se la serie è convergente, la serie sarà divergente. [p. 34 modifica]

Si prenda infatti , ciò che può farsi poichè è convergente, si avrà


e quindi sarà divergente.


6. Servendosi del teorema del numero 1 è facile anche di dimostrare il seguente: Se è una serie divergente i cui termini non crescono indefinitamente, la serie sarà convergente se e divergente se .

Prendiamo infatti , ove è una quantità positiva e


per la serie si avrà


ovvero


Ma ; quindi per una formola nota, si avrà qualunque sia

[p. 35 modifica]
e per questa si otterrà


Ora se è maggiore di uno, si potrà prendere , e si avrà allora ; e quindi la serie sarà convergente.

Se poi si ha , allora, prendendo , si troverà


e quindi , e a fortiori per , sarà divergente.

Il teorema dunque è dimostrato.


7. Per il teorema precedente se si pone

· · · · · · · · · ·
si può dire evidentemente che: Se è una serie divergente, le serie


sono convergenti se è positivo, e divergenti se è negativo o nullo; e da questo risulta che il prodotto , quantunque composto di fattori che crescono indefinitamente con , pure, rispetto ad o ad , non diviene infinito che di un ordine minore di qualunque quantità finita, per quanto grande sia il numero finito dei suoi fattori.


8. Indichiamo con la caratteristica i logaritmi in un sistema la cui base è maggiore dell’unità, e con l’espressione

[p. 36 modifica]
convenendo che ; allora servendosi del teorema precedente, ci sarà facile di dimostrare anche il seguente: Se è una serie divergente i cui termini non sono crescenti, la serie


ove è un numero qualunque finito, è convergente se è una quantità positiva e divergente se è negativa o nulla.

Per questo si osservi prima di tutto che indicando con i logaritmi neperiani, e con il modulo dei Logaritmi a base , cioè ponendo


si ha


e quindi


Se ora si sostituisce in questa in luogo di , evidentemente il prodotto sarà una quantità finita e differente da zero, e che, almeno a partire da un certo valore di , sarà positiva; quindi le condizioni di convergenza o divergenza della serie (3) saranno le stesse di quelle della serie

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ove i logaritmi sono neperiani, e basterà perciò di studiare questa sola.

Ora per studiare questa si osservi che, essendo una quantità positiva, minore di 1, si ha


e quindi, prendendo , si avrà


e poichè i termini di non sono crescenti, evidentemente in ad potremo sostituire , e così si troverà


Facciamo ora in questa e supponiamo per comodo ; allora, sommando le diseguaglianze che ne risultano e l’altra


si troverà


e quindi poichè si ha


ove indica la base dei logaritmi neperiani, se ne dedurrà l’altra

(a)     
e questa ci condurrà subito al teorema.

Infatti, pel caso di negativa o nulla, si osserverà che da questa si hanno le seguenti

[p. 38 modifica]
e quindi, pel teorema precedente, se ne concluderà appunto che la serie


è divergente se è negativa o nulla.

Pel caso poi di positiva, si osserverà che dalla stessa relazione (a) si hanno le seguenti


e quindi se ne concluderà che quando la serie


è convergente, lo sarà pure la serie


ovvero la serie


e questo (num. 7) completa evidentemente il teorema.


9. Prendendo nel teorema precedente , con che è divergente, e , se ne conclude subito il teorema noto che: La serie


è convergente se è positivo e divergente se è negativo o nullo. [p. 39 modifica]

10. Se è una funzione positiva di tale che la serie sia divergente, e se è una serie convergente, si avrà necessariamente


Si ponga infatti


e si prenda nel criterio del numero 1


si avrà


e quindi


e poichè se è convergente si deve avere , d’altronde , se ne conclude appunto che dovrà essere


Questa condizione è dunque una condizione necessaria per la convergenza di una serie , e noi vediamo perciò in particolare, pel teorema del numero 9, che: Se è una serie convergente si avrà necessariamente


e quindi, se per una serie si troverà che queste condizioni non sono soddisfatte si potrà subito affermare che la serie è divergente.


11. Se è una funzione positiva di tale che la serie sia convergente, la serie sarà pure convergente se


non è infinito2. [p. 40 modifica]

Poniamo infatti


e prendiamo


si avrà


e quindi, se , non è infinito, la serie sarà evidentemente convergente.

Nel caso di , osservando che


si potrà soltanto affermare che la serie è divergente tutte le volte che


non è zero.


Osservazione — Pel teorema precedente e per quello del numero 9, si ha in particolare che: Una serie sarà convergente se una delle espressioni


ove è un numero qualunque positivo, non cresce indefinitamente col crescere indefinitamente di ; e questa conclusione unita quella della fine del numero 10 dà un mezzo noto per giudicare della convergenza o divergenza di una serie .


12. Andiamo adesso a vedere come, servendosi di alcuni dei teoremi precedenti, si può subito trovare un criterio di convergenza o divergenza di una serie a termini positivi che comprende come casi particolari quelli dati già dal sig. Bertrand. Questo criterio è il seguente:

Se è una funzione positiva di tale che la serie sia divergente, e se s'indica al solito con la somma dei primi [p. 41 modifica]termini di questa serie, e si pone

(2)
ove la base dei logaritmi è maggiore dell'unità; la serie sarà convergente o divergente secondo che la prima delle quantità che non si annulla per è positiva o negativa. E si potrà anche affermare che la serie sarà divergente se prima di trovare una quantità il cui limite sia differente da zero se ne troverà una che è sempre negativa fuori del limite.

Osserviamo prima di tutto che qui si ritiene che le quantità , a partire da un certo valore di col crescere indefinitamente di , conservino sempre uno stesso segno, poichè se ciò non avvenisse, i loro limiti avrebbero un segno indeterminato o sarebbero nulli e il criterio lascerebbe quindi nel dubbio.

Ciò posto, ricordiamo che, siccome la serie è divergente, la serie

(3)
sarà convergente se , e divergente se (numero 8); e quindi affinchè sia convergente, sarà necessario che si abbia (numero 10)


qualunque sia . [p. 42 modifica]

Da questo evidentemente risulta subito la parte del teorema relativa alla divergenza di , giacchè se per es. avrà un limite negativo, o sarà sempre negativo fuori del limite, ciò vorrà dire che a partire da un certo valore di fino all’infinito la quantità sotto il logaritmo del numeratore di sarà minore dell’unità, e quindi l’espressione

non avrà per limite zero, e sarà perciò divergente.

Resta a dimostrarsi la parte del teorema relativa alla convergenza di .

Per dimostrarla intanto per osserviamo dapprima che se è sempre positiva e non tende a zero indicando con una quantità positiva e sufficientemente piccola, a partire da un certo valore di si avrà


Ma per sufficientemente grande si ha

ovvero


giacchè il rapporto cresce indefinitamente con 3; dunque sarà

[p. 43 modifica]
ovvero


da cui


o anche


e quindi, poichè la serie è convergente, anche sarà convergente.

Per dimostrare il teorema per una qualunque, osserveremo che se è positivo e non tende a zero indicando con una quantità positiva sufficientemente piccola a partire da un certo valore di sino all’infinito, si avrà


ovvero


e quindi


da cui


che mostra appunto che è convergente, poichè la serie (3) è convergente per , qualunque sia .

Il teorema è così completamente dimostrato.

Notiamo che la parte di questo teorema relativa alla divergenza di avrebbe potuto dimostrarsi anche in modo analogo a quello che ci ha servito pel caso della convergenza.


13. Prendendo nel teorema del numero precedente , si ottengono i teoremi di Bertrand; cioè si ha che: Ponendo [p. 44 modifica]


la serie è convergente o divergente secondo che la prima delle quantità che non si annulla per è positiva o negativa; ed è pure divergente quando si trovi che una delle quantità anche che tenda a zero è sempre negativa fuori del limite.


Osservazione. — Siccome si ha , così sì può anche dire in particolare che la serie sarà convergente o divergente secondo che , avrà un limite maggiore o minore dell’unità.


14. Notiamo ancora che siccome dalle (2) si ha


così si avrà

(4)
ed è sotto questa forma che tornerà comodo di tenere le o le quando si vorranno applicare i criteri dei numeri 12 e 13 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie .
[p. 45 modifica]

E quì giova osservare che, siccome le quantità crescono indefinitamente con (V. nota precedente), così dalla (4) si vede che quando si sarà trovata una quantità che abbia un limite maggior di zero, tutte quelle che la seguono avranno per limite l’infinito positivo, e quando se ne sarà trovata una che è sempre negativa fuori del limite, quella che la segue immediatamente avrà un limite che sarà al certo negativo e che potrà essere finito o infinito; e tutte le seguenti avranno per limite l'infinito negativo.


15. Per dare una applicazione del teorema del numero 12 cerchiamo che cosa accada della serie

(5)
quando è positivo ma tende a zero.

Si ha per questa serie evidentemente


dunque questa serie sarà convergente o divergente secondo che


Questo risultato rende evidentemente più completi i teoremi dei numeri 8, 9.

Se si suppone con positiva, allora evidentemente si ha


e quindi la serie (5) in questo caso è divergente. [p. 46 modifica]

In particolare si ha dunque che le serie


ove è positiva, sono tutte divergenti.

Analogamente si potrebbe vedere che le serie (5) corrispondenti a


ove , e sono positive, sono convergenti se , divergenti se .


16. Ritorniamo adesso al criterio del numero 1; questo criterio, come dicemmo, potrà sempre servire poichè, data una serie , esistono sempre infinite funzioni tali che l'applicazione del criterio riesce decisivo. Però queste funzioni dipenderanno dalla natura di , ed anzi in generale possiamo ora mostrare che non esiste una funzione tale che con essa il criterio riesca decisivo per qualunque serie , tale cioè che con essa si trovi sempre


se la serie è convergente, e


se la serie è divergente.

Sia infatti, se è possibile, una tale funzione; la serie sarà divergente (num. 4), e quindi indicando con la somma dei suoi primi termini, anche la serie sarà divergente (num. 6), e quindi per essa dovrebbe aversi . Ora invece per essa si trova


e quindi se ne conclude che la funzione voluta non può esistere. [p. 47 modifica]

17. Il criterio del num. 1 è generale; però la sua applicazione potrebbe riuscire laboriosa quando i termini di fossero dei prodotti nei quali il numero dei fattori va continuamente aumentando. È utile per ciò di trasformarlo in un altro che sia di più facile applicazione in questo caso.

Per questo si prenda intanto , essendo una funzione tale che . Allora si avrà


e il teorema del numero 1, diverrà appunto il teorema di Kummer, cioè si avrà che:

Essendo una funzione di tale che , la serie sarà convergente se


e sarà divergente se


18. Arrestiamoci più specialmente sulla prima parte di questo teorema: e senza occuparci ora della condizione supponiamo che sia una tale funzione che la serie sia divergente; in questo caso, se per una serie si troverà che l’espressione


ha un limite negativo o è sempre negativa fuori del limite, ciò vorrà dire che sarà divergente, giacchè in ambedue i casi a partire da un certo valore di n sino all’infinito si avrà

[p. 48 modifica]
e quindi


ciò che mostra appunto che è divergente.

Da questo e dal teorema precedente risulta dunque intanto che: Essendo una funzione positiva di tale che la serie sia divergente, la serie sarà divergente se l’espressione


avrà un limite negativo, e anche se tendendo a zero sarà sempre negativa fuori del limite; e sarà convergente se oltre ad aversi , si avrà altresì


Il dubbio si presenterà quando tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite, e quando il segno di sarà indeterminato. Quest'ultimo caso sarà assai raro e si presenterà soltanto quando avvicinandosi al suo limite sarà or crescente or decrescente col crescere di per valori interi: qui però questo caso si intenderà sempre escluso dalle nostre considerazioni.


19. Dico ora che la condizione , necessaria d’altronde per la convergenza di (num. 10), non lo è punto per l’enunciato del teorema precedente: in altri termini se ha un limite differente da zero (nel qual caso già sappiamo che è divergente (num. 10)) dico che non si potrà mai avere ; e quindi il caso di resterà da sè soltanto quando , cioè quando è convergente.

Supponiamo infatti che si abbia


essendo una quantità diversa da zero; e consideriamo separatamente i casi di finito, e di infinito. [p. 49 modifica]

Consideriamo il primo caso. La serie essendo divergente, tale sarà pure (num. 6) la serie


e per questa si avrà


dunque, pel teorema di Kummer, l’espressione


non potrà avere un limite positivo.

Ma d’altronde si ha


ovvero


dunque, poichè è positivo ed ha per limite zero, , avrà lo stesso limite di , e quindi non potrà essere positivo4.

Supponiamo ora . In questo caso se si avesse

[p. 50 modifica]
necessariamente, a partire da un certo valore di , si avrebbe


ovvero


e quindi n sarebbe decrescente, e non potrebbe divenire infinita.

Dunque anche in questo caso non potrà avere un limite positivo, e quindi si può ora concludere che quando si abbia , la condizione viene soddisfatta da per sè, e si ha perciò il teorema generale seguente:

Essendo una funzione positiva di e tale che la serie sia divergente, la serie sarà convergente o divergente secondo che la espressione


avrà un limite positivo o negativo; e sarà pure divergente quando , tendendo a zero, sarà sempre negativa fuori del limite.

Quando sia identicamente nullo, la serie sarà evidentemente divergente, giacchè sarà


ove non varia col crescere di per valori interi; e quindi si avrà

e


Il criterio precedente adunque lascerà il dubbio soltanto nel caso in cui tenderà a zero essendo sempre positivo fuori del limite.


Osservazione. — È da notarsi che dalla dimostrazione del teorema precedente risulta che, quando la serie sia divergente, tenderà sempre a zero finchè è tale che non è infinito.


20. Pel teorema generale precedente ogni serie di cui sia nota la divergenza conduce subito ad un criterio di convergenza o divergenza di un altra serie qualunque . [p. 51 modifica]

Tutte le serie divergenti adunque che abbiam considerate nei numeri 7, 8 e 9, prese per la serie conducono ad altrettanti criterj; e quì prendendo in particolare per la serie


e le serie logaritmiche del numero 9 corrispondenti a , cioè facendo


si potrà enunciare il seguente teorema: La serie sarà convergente o divergente secondochè la prima delle espressioni


che non ha per limite zero, avrà per limite una quantità positiva o negativa; e sarà divergente anche quando si troverà che una di queste espressioni tende a zero essendo sempre negativa fuori del limite.

Così noi vediamo risultare dal teorema (19) una buona parte dei noti criterj di convergenza o divergenza di una serie nei quali entra il rapporto di due termini consecutivi della stessa serie.

Moltiplicando le espressioni precedenti per il criterio prenderà una forma leggermente differente. [p. 52 modifica]

21. Il criterio che ora abbiamo dato può trasformarsi facilmente in un altro nel modo seguente. Osserviamo che ponendo


si ha per


In generale poi per si ha (supponendo per semplicità che i logaritmi siano neperiani)


e ponendo


si avrà


ovvero


o anche

(6)
ponendo per abbreviare


Ma dalla formola ()

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prendendo una volta , e un'altra si deducono le due diseguaglianze


quindi, supponendo , per la prima di queste si avrà


e per la seconda


E poichè quest’ultima espressione è composta di un numero finito di fattori che tendono all’unità, essa pure tenderà all’unità, e quindi si avrà evidentemente , e per la (6) se ne dedurrà


ove può avere i valori

Questi risultati ci fanno evidentemente concludere che: Ponendo

[p. 54 modifica]
ove a possono darsi i valori , la serie sarà convergente o divergente secondo che la prima delle espressioni


che non è eguale all’unità, sarà maggiore o minore dell’umità. (G. Novi, Algebra superiore, (Firenze 1863), num. 235).

Se i logaritmi invece di essere neperiani fossero stati a base qualunque, purchè maggiore dell’unità, saremmo giunti a questi stessi risultati finali.

Questo criterio non è in fondo che una leggera trasformazione del precedente e serve ordinatamente negli stessi casi; però talvolta può essere più comodo di averlo sotto questa forma piuttosto che sotto l’altra.


22. Mediante i teoremi dati in principio ci è facile ora di dimostrare che per ogni serie esistono sempre infinite serie divergenti tali che, servendosi della funzione che ci è somministrata da esse, il criterio del num. 19 riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che la serie sia convergente; allora la serie sarà divergente (num. 4), e, prendendo questa per la , si avrà


e il criterio sarà così decisivo.

Se poi è divergente, la serie sarà pure divergente (num. 5); e, prendendo questa per la , il criterio verrà pure [p. 55 modifica]decisivo poichè si avrà


Così dunque si vede intanto che per ogni serie esiste una serie divergente che rende decisivo il criterio del num. 19. Per vedere poi come di queste serie divergenti ne esista un numero infinito per ogni serie , supponiamo che sia una di quelle serie divergenti (che ora abbiamo visto esistere) che danno per una espressione avente un limite finito e diverso da zero, e cerchiamo che cosa divenga quando invece di servirsi della serie divergente ci si serve di un’altra serie pure divergente

Si osservi perciò dapprima che, con questa serie, si avrà


e poichè colla serie si ha

( finito e diverso da zero),


così si avrà

(7)

Ciò posto, si distinguano i tre casi di decrescente indefinitamente col crescere di ; sempre finito e diverso da zero; crescente indefinitamente con :

1º Caso: decrescente indefinitamente.

In questo caso osserviamo che applicando il criterio del num. 1 alla serie col prendere , si vede che si dovrà avere

[p. 56 modifica]
poichè la serie è divergente: per questa dalla (7) si avrà


e quindi, se ha, come si è supposto un limite finito, la serie , con decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà .

2º Caso: differente da zero e finito. In questo caso, applicando il criterio del num. 19 alla serie e servendosi per questo della , si vede che si dovrà avere (num. 19)


giacchè la serie è divergente e ha un limite finito.

Dunque, poichè è sempre finito, si avrà anche


e perciò dalla (7) risulterà ancora


e quindi avrà un limite finito e diverso da zero come , e la serie servirà appunto come la .

3º Caso: crescente indefinitamente con .

In questo caso dalla (7) si vede subito che, se ha un limite differente da zero e negativo, avrà per limite l’infinito negativo; e se ha un limite differente da zero e positivo, avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie è divergente, si avrà per essa

[p. 57 modifica]
e quindi, partire da un certo valore di , sarà


essendo una quantità finita piccola quanto si vuole, e per questa la (7) ci darà


dalla quale evidentemente si deduce che .

La serie serve dunque benissimo anche in questo caso; e con questo e con quanto si è detto nel caso precedente resta evidentemente dimostrato che per ogni serie esistono sempre infinite serie divergenti tali che con esse l’applicazione del criterio del num. 19 riesce decisivo.

Inoltre, dalla discussione che abbiamo fatta risulta che:

1º. Trovata una serie divergente che renda decisiva l'applicazione del criterio del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie data , se invece della serie divergente si userà la serie pure divergente , ove è sempre finita e diversa da zero o cresce indefinitamente con , il criterio resterà pure decisivo; e se la serie era tale che avesse un limite finito e diverso da zero, la serie condurrà ad un che avrà un limite ancora finito e diverso da zero se è finita, e che avrà un limite infinito (positivo o negativo) se crescerà indefinitamente con .
2º. Affinchè una serie divergente renda decisiva l’applicazione del criterio del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie , bisognerà che, col crescere di , divenga infinita almeno dell’ordine di se è convergente; e divenga infinita almeno dell'ordine di se è divergente.
3º. Se con una serie divergente si troverà che ha un limite finito e positivo, ciò vorrà dire che la serie è convergente e, col crescere di , il suo resto diviene infinitesimo dell'ordine di ; e se si troverà che ha un limite finito e
[p. 58 modifica]negativo, la serie sarà divergente, e la sua somma diverrà infinita dell'ordine di .

Così per es. se non si sapesse già (numero 6) che la serie ha una somma infinita dell’ordine di , potremmo dedurlo dalle considerazioni precedenti osservando che per la serie il criterio del num. 19 dà quando si prenda


23. Nel paragrafo precedente abbiamo veduto che esistono sempre infinite serie divergenti colle quali l'applicazione del criterio del numero 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie riesce decisiva. Però queste serie dipendono dalla natura di , ed è anzi facile di vedere che non esiste una serie divergente tale che il criterio riesca decisivo per qualunque serie , 0, in altri termini, si ha che: Qualunque sia la serie divergente della quale ci si serve, applicando il teorema del num. 19, per giudicare della convergenza o divergenza di un’altra serie , esisteranno sempre delle serie divergenti e delle serie convergenti per le quali tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite.

Sia infatti una serie divergente qualunque colla quale si applica il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di altre serie. Allora, siccome questa serie è divergente, la serie


sarà divergente (num. 6) per e convergente per , e pure nell’un caso e nell’altro, qualunque sia , sarà positiva e si avrà sempre . [p. 59 modifica]

Se si pone infatti


si avrà per la serie


ovvero


e di qui si vede che è difatti positiva, e se si ha evidentemente . Se poi , per es. , si ha ancora

e


giacchè cresce indefinitamente con , e non tende a zero.

Da ciò risulta quanto avevamo enunciato5.


24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente l'applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune serie; ma per altre si troverà

[p. 60 modifica]
e in questi casi, per poter decidere se le serie corrispondenti sono convergenti, o no, bisognerà cangiare la funzione o applicare altri criteri.

Fermiamoci in particolare sul caso in cui si voglia cangiare la funzione . Le considerazioni fatte al num. 22 ci mostrano subito che se, servendosi della serie divergente , si è trovato


la serie divergente che converrà prendere perchè il criterio del n. 19 riesca decisivo (e che certo dovrà esistere) dovrà essere tale che cresca indefinitamente con ; e quindi si può dire che: scelta una serie divergente , se applicando con essa il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di un’altra serie , si troverà il caso dubbio, allora, per potere decidere, converrà prendere invece della serie un’altra serie ancora divergente i cui termini tendano a divenire infinitamente piccoli rispetto a quelli di .

È così che quando non serva il criterio bisognerà passare ad un altro nel quale cresca indefinitamente con , e sia tale che la serie sia divergente. Passando allora ad un ognor più crescente, il criterio finirà per venire decisivo, e le funzioni le più appropriate saranno successivamente quelle funzioni


e le altre


che deducemmo al num. 6 da una stessa serie divergente rappresentata ivi con . [p. 61 modifica]

25. Nella scelta della funzione la quale fa sì che il criterio divenga decisivo, ordinariamente converrà procedere per tentativi. Però può darsi qui una proprietà di questa funzione , mediante la quale potranno talvolta risparmiarsi dei tentativi laboriosi e infruttuosi.

Riprendiamo infatti la formola


e supponiamo che la serie alla quale si applica il criterio sia convergente. È chiaro allora che, siccome la parte