Sulle serie a termini positivi

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Ulisse Dini

1867 S Indice:Sulle serie a termini positivi.djvu Matematica Sulle serie a termini positivi Intestazione 29 aprile 2014 25% Da definire

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[13a), 13b)] SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI

[Annali delle Università Toscane, IX (1867), p. 41-76 e Nota p. 77-70]

Le serie a termini positivi sono quelle di cui a preferenza si sono occupati i Geometri, e su esse si sono trovati molti importanti teoremi, fra i quali meritano di essere citati quelli che il sig. KUMMER ha pubblicato in una memoria inserita nel Vol. 13 del Giornale di Crelle, e che servono in molti casi per giudicare della convergenza o divergenza delle medesime serie. Modificando un poco questi teoremi io ho trovato che da essi si deducono colla massima facilità una gran parte dei teoremi particolari che si hanno sulle medesime serie, e se ne deducono pure alcun altri, e per questo ho creduto bene di pubblicare qui questa Nota.

  1. Sia una serie a termini positivi



e sia una funzione positiva di n che a partire da un certo valore di n, col crescere di n decresce continuamente ed ha per limite zero: s'indichi con a una costante arbitraria positiva, e si formi la funzione



Cangiando in questa n in , e sommando si otterrà



e passando al limite, per s ed n infiniti, ed indicando ora e in seguito con il resto della serie , si troverà


;

[p. 30 modifica]e quindi, quando sia sempre positiva, siccome è pure positiva, si avrà necessariamente

;

,

e la serie sarà convergente.

Ora, evidentemente , col crescere di , si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di sino all'infinito si avrà


,


ovvero

,


poichè è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie sarà convergente tutte le volte che l'espressione


,


per , avrà un limite differente da zero.

Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga


,


tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per e si cangi in , ,... e si sommi; si troverà


,


ovvero


Ora, siccome tende a zero col crescere di , così i rapporti [p. 31 modifica], ,... in generale saranno finiti e inoltre saranno minori dell'unità; e quindi indicando con una quantità finita maggiore di tutti questi rapporti, si avrà


e se ne concluderà che la serie sarà divergente se è differente da zero.

Per questo e per ciò che precede noi possiamo dunque ora enunciare il seguente teorema.

Essendo una funzione di n che col crescere di n decresce continuamente ed ha per limite zero, la serie a termini positivi sarà convergente se l'espressione


per , ha un limite differente da zero; e sarà divergente se l'espressione


ha un limite differente da zero 1 .

2. Questo criterio lascia il dubbio quando ed tendono entrambe a zero. È facile però di vedere che per ogni serie esistono infinite funzioni tali che il criterio riesce decidivo.

Supponiamo infatti dapprima che sia convergente; si avrà subito una funzione conveniente prendendo , giacchè, così facendo, si ottiene

, .


Se poi è divergente, si avrà una funzione conveniente , prendendo

[p. 32 modifica]
ove


giacchè si troverà allora



Di qui risulta intanto che per ogni serie esiste una funzione per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.

Infatti se è una tale funzione, indicando con un’altra funzione tale che , e prendendo in luogo della , si troverà



e se è convergente e si ha , basterà prendere decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora ; e se è divergente, e si ha , basterà prendere crescente perchè si abbia ancora .

Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione che tenda a zero, introduceva una funzione tale che , e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi


Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.

3. Andiamo adesso si vedere come il teorema, del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.

Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie i cui termini sono alternativamente positivi [p. 33 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/5 [p. 34 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/6 [p. 35 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/7 [p. 36 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/8 [p. 37 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/9 [p. 38 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/10 [p. 39 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/11 [p. 40 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/12 [p. 41 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/13 [p. 42 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/14 [p. 43 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/15 [p. 44 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/16 [p. 45 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/17 [p. 46 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/18 [p. 47 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/19 [p. 48 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/20 [p. 49 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/21 [p. 50 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/22 [p. 51 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/23 [p. 52 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/24 [p. 53 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/25 [p. 54 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/26 [p. 55 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/27 [p. 56 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/28 [p. 57 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/29 [p. 58 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/30 [p. 59 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/31 [p. 60 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/32 [p. 61 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/33 [p. 62 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/34 [p. 63 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/35 [p. 64 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/36 [p. 65 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/37 [p. 66 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/38 [p. 67 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/39 [p. 68 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/40 [p. 69 modifica]Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/41


Note

  1. V. nota in fine.